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重心座標と三角形の五心等

重心座標

太郎　 2003年京大後期文系に次の問題があります．

例題 0.0.1   三角形ABCと点Pに対して，次の2つの条件は同値であることを証明せよ．

(i)

点Pは三角形ABCの内部(周は除く)にある

(ii)

正の数$a$，$b$，$c$があって， $a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+ b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+ c\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{O}}$が成り立つ

解答     点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の内部にあるとする． 線分$\mathrm{AP}$の延長線が線分$\mathrm{BC}$ (両端を除く)と交わる． この点を$\mathrm{Q}$とする．

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$$

とおく．$0<k<1$である． 点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{BC}$上にあるので，$0<t<1$の範囲の正の実数$t$を用いて

$$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{BC}} \... ...-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}} +t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

と表される．よって

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}} +kt\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

と表される． これから

$$(1-k)\overrightarrow{\mathrm{PA}}+k(1-t)\overrightarrow{\mat... ...} +kt\overrightarrow{\mathrm{PC}} =\overrightarrow{\mathrm{O}}$$

$$a=1-k,\ b=k(1-t),\ c=kt$$ (1)

とおく．$0<k,\ t<1$なので$a,\ b,\ c>0$である．

逆に正の数$a,\ b,\ c$で

$$a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+ b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+ c\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{O}}$$

となるものが存在するとする． このとき $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} =\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$ (2)

と表される．

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} =\dfrac{b+c}{a+b+c} \left(\dfra... ...mathrm{AB}} +\dfrac{c}{b+c}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$$

これは， $\dfrac{b}{b+c}\overrightarrow{\mathrm{AB}} +\dfrac{c}{b+c}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ で定まる線分$\mathrm{BC}$上の点を$\mathrm{Q}$とする． $0<\dfrac{b+c}{a+b+c}<1$より点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を $b+c:a$に内分する．つまり点$\mathrm{P}は$三角形$\mathrm{ABC}$の内部にある． □

太郎　 この問題の解をよく見ます． 正の数の組$(a,\ b,\ c)$に対して等式(2)で点$\mathrm{P}$が定まります． $u$を正数として $(ua,\ ub,\ uc)$も同じ点を定めます． 逆に $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$内部の点$\mathrm{P}$に対して， (1)で正の数の組$(a,\ b,\ c)$の比が定まります．

そこで $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$は固定したうえで， $a,\ b,\ c$が正という条件を外し 実数$x,\ y,\ z$を用いれば，数の組$(x,\ y,\ z)$で平面上の点を表すことができるのではないか．数の組$(x,\ y,\ z)$に対して

$$x\overrightarrow{\mathrm{PA}}+ y\overrightarrow{\mathrm{PB}}+ z\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{O}}$$ (3)

で点$\mathrm{P}$を定める．この等式は

$$(x+y+z)\overrightarrow{\mathrm{AP}} =y\overrightarrow{\mathrm{AB}}+z\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

となり$x+y+z=0$なら点$\mathrm{P}$は定まらない． $x+y+z\ne 0$なら点$\mathrm{P}$は

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} =\dfrac{y}{x+y+z}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{z}{x+y+z}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$ (4)

と一意に定まる．0でない実数$u$に対し$(x,\ y,\ z)$と $(ux,\ uy,\ uz)$ は同じ点を定める．

逆に平面上の任意の点$\mathrm{P}$に対して， $\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ が一次独立であることより

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} =s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

となる$s$と$t$が一意に定まり，これから

$$(1-s-t)\overrightarrow{\mathrm{PA}}+s\overrightarrow{\mathrm{PB}} +t\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{O}}$$

となる．また0でない実数$u$によって

$$x=u(1-s-t),\ y=us,\ z=ut$$

とおくと，等式(3)が成り立ち

$$s=\dfrac{y}{x+y+z},\ \quad t=\dfrac{z}{x+y+z}$$

となり同じ点$\mathrm{P}$を定める． この点と数の組の対応は一対一対応ではなく，比の等しい組は同じ点に対応し， 同じ点を定める数の組は比が等しい．

このように$x+y+z\ne 0$である数の組$(x,\ y,\ z)$と， 平面上の点が対応するのだから， $(x,\ y,\ z)$は座標ではないか，これが質問点です．

南海　 まさにそうである．これは射影座標の一種と考えられる． 射影座標については既出のものでは『パスカルの定理』を， また今後書かれてゆく『幾何学の精神』を参考にしてほしい．

射影平面の射影座標$(x,\ y,\ z)$では$z=0$が無限遠直線となる． ユークリッド平面は，射影平面で$z\ne 0$の部分であり， $\left(\dfrac{x}{z},\ \dfrac{y}{z}\right)$が いわゆる$xy$座標平面の座標に対応する．

等式(3)で点$\mathrm{P}$を定める座標$(x,\ y,\ z)$では， $x+y+z=0$がいわば無限遠直線であり， $x+y+z\ne 0$の部分がユークリッド平面になる．

ただここでは射影幾何の問題としてこれを考えるより， 19世紀に盛んに研究された三角形幾何の一つとして考え， この方向でパスカルの定理の別証明まで行ってみよう．

任意の基準点$\mathrm{O}$をとって等式(3)を書き直すと

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}} =\dfrac{x}{x+y+z}\overrightarro... ...row{\mathrm{OB}} +\dfrac{z}{x+y+z}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$ (5)

となる．等式(3)またはそれと同等な等式(5) の$(x,\ y,\ z)$は座標系になる． この座標系を $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$で定まる重心座標系， $(x,\ y,\ z)$を点$\mathrm{P}$の重心座標という.

一方

$$x_1=\dfrac{x}{x+y+z},\ x_2=\dfrac{y}{x+y+z},\ x_3=\dfrac{z}{x+y+z}$$

とおくと

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = x_1\overrightarrow{\mathrm{OA... ...m{OB}} +x_3\overrightarrow{\mathrm{OC}} ,\ \quad x_1+x_2+x_3=1$$

となる． 和が1になるようにとった $(x_1,\ x_2,\ x_3)$を絶対重心座標ということもある． 適宜使い分ければよい．

重心と内心

南海　 三角形の五心を重心座標で表そう．

太郎　 重心$\mathrm{G}$は

$$(1,\ 1,\ 1)．$$

絶対重心座標では

$$\left(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{3} \right)．$$

内心$\mathrm{I}$について． $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の辺長を

$$a=\mathrm{BC},\ b=\mathrm{CA},\ c=\mathrm{AB}$$

と置く． ベクトル $\dfrac{1}{c}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{b}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は $\angle \mathrm{BAC}$を二等分するので

$$\overrightarrow{\mathrm{AI}}= \dfrac{k}{c}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{k}{b}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

とおける．同様に

$$\overrightarrow{\mathrm{BI}}= \dfrac{l}{c}\overrightarrow{\m... ...ghtarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{l}{a}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

これより $k=\dfrac{bc}{a+b+c}$となり，

$$\overrightarrow{\mathrm{AI}}= \dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

始点を$\mathrm{O}$にとって

$$\overrightarrow{\mathrm{OI}}= \dfrac{a}{a+b+c}\overrightarro... ...rrow{\mathrm{OB}}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$

また

$$a\overrightarrow{\mathrm{IA}}+ b\overrightarrow{\mathrm{IB}}+ c\overrightarrow{\mathrm{IC}}=\overrightarrow{\mathrm{O}}$$

内心$\mathrm{I}$の重心座標は

$$(a,\ b,\ c)．$$

絶対重心座標は

$$\left(\dfrac{a}{a+b+c},\ \dfrac{b}{a+b+c},\ \dfrac{c}{a+b+c} \right)$$

となる． 2006年の神戸大学理系1番を見ると，傍心の重心座標が

$$(-a,\ b,\ c),\ (a,\ -b,\ c),\ (a,\ b,\ -c)$$

となることもわかる．

重心座標と面積

太郎　 外心と垂心は難しいです．

南海　 重心座標のもうひとつの意味を考えよう．

$\bigtriangleup \mathrm{ABC}$を一つ固定する． 重心座標そのものは鋭角三角形を一つ固定すればよいのだが， 三頂点の位置ベクトルで，外心や垂心がどのように表されるかという観点から， 一般的に $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$が鈍角三角形でもいいとする． ただし垂心を考えるときは，直角三角形ではないとする．

鈍角三角形の場合を含んで考えるために，その準備として，符号つき面積を定める． $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$で図形としての三角形$\mathrm{ABC}$を表すが， 同時にその面積も表すことにする． ただし，3点 $\mathrm{A,\ B,\ C}$が左回りに並んでいれば正の値にとり， 右回りに並んでいれば負の値にとるものとする． すべて比が問題なので正負を逆にしても同じことである． さらに3点 $\mathrm{A,\ B,\ C}$が同一直線上にあるときは0を表すものとする．
     このように約束すると， $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$に対してつねに

$$\bigtriangleup \mathrm{ABC}=\bigtriangleup \mathrm{PBC}+\bigtriangleup \mathrm{PCA} +\bigtriangleup \mathrm{PAB}$$

が成り立つ． 図の場合符号は次のようになる．

$$\bigtriangleup \mathrm{PBC}<0,\ \bigtriangleup \mathrm{PCA}>0,\ \bigtriangleup \mathrm{PAB}>0$$

等式(4)は

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} =\dfrac{y+z}{x+y+z}\left(\dfrac... ...\mathrm{AB}}+\dfrac{z}{y+z}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$$

ともなるので，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点$\mathrm{D}$は 線分$\mathrm{BC}$を$z:y$に内分または外分することがわかる．

図のような位置に$\mathrm{P}$がある場合． $\mathrm{D}$は外分点である．符号も入れて

△ABD：△ADC=z：y　　△PBD：△PDC=z：y

これから辺々引いて次式が成りたつ．

$$\bigtriangleup \mathrm{PAB}:\bigtriangleup \mathrm{PCA} =z:y$$

始点を変えて考えることにより

$$\bigtriangleup \mathrm{PAB}:\bigtriangleup \mathrm{PCA}:\bigtriangleup \mathrm{PBC} =z:y:x$$

である． 他の場合も同様に成り立つ．

太郎　 つまり， 重心座標はまた点$\mathrm{P}$を頂点とし， $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の各辺を$\mathrm{P}$の対辺とする三角形の符号つき面積の値の比でもある． 絶対重心座標は

$$x_1=\dfrac{\bigtriangleup \mathrm{PBC}}{\bigtriangleup \math... ...frac{\bigtriangleup \mathrm{PAB}}{\bigtriangleup \mathrm{ABC}}$$

になる．これを用いると内心$\mathrm{I}$については内接円の半径を$r$とすると

$$\bigtriangleup \mathrm{IBC}=\dfrac{ra}{2},\ \bigtriangleup ... ...CA}=\dfrac{rb}{2},\ \bigtriangleup \mathrm{IAB}=\dfrac{rc}{2}$$

なので，その重心座標が

$$(a,\ b,\ c)$$

であることがわかる．

外心

外心は，外接円の半径を$R$とし， $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の頂角に対する中心角 $2A,\ 2B,\ 2C$を考えることにより

$$\bigtriangleup \mathrm{OBC}=\dfrac{R^2}{2}\sin 2A,\ \bigtri... ...2}\sin 2B,\ \bigtriangleup \mathrm{OAB}=\dfrac{R^2}{2}\sin 2C$$

となる．これは $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$が鈍角三角形で， 外心$\mathrm{O}$が $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の外部にあるときも成り立つ．

よって外心$\mathrm{O}$の重心座標は

$$\left(\sin 2A,\ \sin 2B ,\ \sin 2C\right)$$

である． 正弦定理，余弦定理から

$$\dfrac{R^2}{2}\sin 2A=R^2\sin A\cos A =R\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2bc} =\dfrac{Ra^2(-a^2+b^2+c^2)}{4abc}$$

なので，外心$\mathrm{O}$の重心座標は

$$\left(a^2(-a^2+b^2+c^2),\ b^2(a^2-b^2+c^2) ,\ c^2(a^2+b^2-c^2)\right)$$

でもある．これらは直角三角形でも成り立つ．

垂心

垂心$\mathrm{H}$の重心座標を求める． $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$は直角三角形ではないとする.

$$\bigtriangleup \mathrm{HAB}:\bigtriangleup \mathrm{HCA} =c\cos B:b\cos C =2R\sin C\cos B:2R\sin B\cos C=\tan C:\tan B$$

これは $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$が鈍角三角形で $\mathrm{H}$が外部にあるときも成立する． これから 垂心$\mathrm{H}$の重心座標は

$$(\tan A,\ \tan B,\ \tan C)$$

である．

$$\tan A=\dfrac{a}{2R}\cdot\dfrac{2bc}{-a^2+b^2+c^2}$$

なので， 垂心$\mathrm{H}$の重心座標を辺長で表すと

$$\left(\dfrac{1}{-a^2+b^2+c^2},\ \dfrac{1}{a^2-b^2+c^2},\ \dfrac{1}{a^2+b^2-c^2}\right)$$

である． 直角三角形でないとしたが， $A=\dfrac{\pi}{2}$のときは $\mathrm{H}=\mathrm{A}$である． これを，比 $\left(1,\ \dfrac{\tan B}{\tan A},\ \dfrac{\tan C}{\tan A},\ \right)$ の極限で考え，$(1,\ 0,\ 0)$を重心座標ととれば，直角三角形の場合を含めて成り立つ．

南海　 三角形には五心の他にも多くの点が定まる． それらの相互関係が，この重心座標や次に紹介する三線座標を用いて研究された． それは貴重なものであり，また実地に検証しながら証明してゆける分野で， 高校ではもっと取りあげてほしい．

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