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重心座標による図形の方程式

太郎　 座標というからには，成分間の関係式をみたす点の集合がどのような図形になるか， ここを考えなければならないです． 重心座標での方程式がわかれば三線座標での方程式もわかる． 重心座標で考えます．

直線の方程式

直線は通る点と方向を与えることで定まる． 通る点を $\alpha\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta\overrightarrow{\mathrm{AC}}$， 方向を $\gamma\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\delta\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする． 直線上の点$\mathrm{P}$は

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} =\alpha\overrightarrow{\mathrm{... ...verrightarrow{\mathrm{AB}}+\delta\overrightarrow{\mathrm{AC}})$$

と表される．これから

$$(1-\alpha-\beta-t\gamma-t\delta)\overrightarrow{\mathrm{PA}}... ...elta)\overrightarrow{\mathrm{PC}}= \overrightarrow{\mathrm{O}}$$

となる．よって重心座標で点$\mathrm{P}$を$(x,\ y,\ z)$とすると，

$$\dfrac{y}{x+y+z}=\alpha+t\gamma,\ \dfrac{z}{x+y+z}=\beta+t\delta$$

となる．これから$t$を消去して

$$\left(\dfrac{y}{x+y+z}-\alpha \right)\delta= \left(\dfrac{z}{x+y+z}-\beta \right)\gamma$$

を得る．これを整理して

$$(\alpha\delta-\beta\gamma)x+(\alpha\delta-\beta\gamma-\delta)y +(\alpha\delta-\beta\gamma+\gamma)z=0$$ (6)

を得る．逆に，$x,\ y,\ z$の斉次1次式

$$lx+my+nz=0$$

が与えられれば

$$\alpha\delta-\beta\gamma=l,\ l-\delta=m,\ l+\gamma=n$$

となるように，第2，3式から $\gamma,\ \delta$を定め 第1式から $\alpha,\ \beta$を定まった比になるようにとれば， 直線のベクトル方程式が定まる．

よって直線の方程式は$x,\ y,\ z$の斉次1次式である．

二点を通る直線

命題 1  

$$\begin{eqnarray*} && \alpha_1\overrightarrow{\mathrm{P_1A}}+ \beta_1\overrightar... ...amma_2\overrightarrow{\mathrm{P_2C}}=\overrightarrow{\mathrm{O}} \end{eqnarray*}$$

で定まる二点 $\mathrm{P_1},\ \mathrm{P_2}$を通る直線の方程式は

$$\left\vert \begin{array}{ccc} x&y&z\\ \alpha_1&\beta_1&\... ...pha_1&\beta_1\\ \alpha_2&\beta_2 \end{array}\right\vert z=0$$ (7)

である． ■

証明      直線の方程式(6)に

$$\begin{eqnarray*} &&\alpha=\dfrac{\beta_1}{\alpha_1+\beta_1+\gamma_1},\ \beta=\... ...1+\beta_1+\gamma_1} -\dfrac{\gamma_2}{\alpha_2+\beta_2+\gamma_2} \end{eqnarray*}$$

を代入する．代入して整理すると

$$(\beta_1\gamma_2-\beta_2\gamma_1)x +(\gamma_1\alpha_2-\gamma_2\alpha_1)y +(\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1)z=0$$

つまり方程式(7)を得る． □

これはまた3点

$$(x,\ y,\ z),\ (\alpha_1,\ \beta_1,\ \gamma_1),\ (\alpha_2,\ \beta_2,\ \gamma_2)$$

が共線である条件でもある．

円錐曲線の方程式

南海　 円錐曲線の射影幾何での定義は，今後『幾何学の精神』でおこなう予定である． ここでは，射影平面で斉次二次式で定まる点の集合を円錐曲線と定める． いいかえると $(x_1,\ x_2,\ x_0)$を射影座標とするとき，

$$C\,:\,p{x_1}^2+q{x_2}^2+r{x_0}^2+2lx_1x_2+2mx_1x_0+2nx_2x_0=0$$

で定まる射影平面上の点の集合を円錐曲線という．これは行列を用いて

$$(x_1,\ x_2,\ x_0) \left( \begin{array}{ccc} p&l&m\\ l&q&... ...( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_0 \end{array}\right)=0$$

と表すことができる． この円錐曲線は，重心座標ではどのような方程式で表されるのか．

これを明示的に表すために， $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(a_1,\ a_2)$， $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(b_1,\ b_2)$， $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(c_1,\ c_2)$とする． 重心座標が$(x,\ y,\ z)$の点は直交ユークリッド座標では

$$\dfrac{x}{x+y+z}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \dfrac{y}{x+y+... ...t) \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right)$$

で表される．したがってこれを射影平面におくと

$$\left( \begin{array}{ccc} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ ... ...t) \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right)$$

$A=\left( \begin{array}{ccc} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ 1&1&1 \end{array}\right)$とすると，$(x,\ y,\ z)$のみたすべき方程式は

$$(x,\ y,\ z) {}^tA \left( \begin{array}{ccc} p&l&m\\ l&q&... ... \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right)=0$$

となり，やはり二次の斉次式である． これを整理し改めて係数を取りなおし， 重心座標による円錐曲線を

$$px^2+qy^2+rz^2+2lxy+2myz+2nzx=0$$

とおく．これが $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の頂点を通ることを考える． 頂点の重心座標は$(1,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 1,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 1)$である． これらが方程式を満たすので，$p=q=r=0$である．よって

$$lxy+myz+nzx=0$$

これが，3頂点を通る円錐曲線である．

円の方程式

南海　 これをもとに， まず $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の3頂点を通る円の方程式を重心座標で表そう．

命題 2        $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の頂点 $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$ の対辺の長さを$a,\ b,\ c$とする． $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の外接円の重心座標による方程式は

$$a^2yz+b^2zx+c^2xy=0$$ (8)

である． ■

証明      方程式(8)が円錐曲線であることはわかっているので， $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の外接円周上の点がこの方程式を満たすことを示せば， 方程式(8)が外接円の方程式である．

外接円周上に点$\mathrm{P}$をとる．図のように弧$\mathrm{CA}$上にあるとする． このとき円周角の定理から

$$\begin{eqnarray*} &&x=\dfrac{1}{2}\mathrm{PB}\cdot\mathrm{PC}\sin A\\ &&y=-\dfr... ...sin (\pi-B)\\ &&z=\dfrac{1}{2}\mathrm{PB}\cdot\mathrm{PA}\sin C \end{eqnarray*}$$

である．よって外接円の半径を$R$とすると

$$\begin{eqnarray*} &&a^2yz+b^2zx+c^2xy\\ &=&\dfrac{\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}\c... ...sin B\sin C \left(-a\mathrm{PA}+b\mathrm{PB}-c\mathrm{PC}\right) \end{eqnarray*}$$（/2を／4に訂正）

トレミーの定理から

$$a\mathrm{PA}+c\mathrm{PC}=b\mathrm{PB}$$

なので，点$\mathrm{P}$の重心座標は方程式(8)をみたす． 円周上の他の位置にあっても同じなので， 円周上の点はすべて方程式(8)をみたし， この結果方程式(8)が外接円の方程式である． □ 次: パスカルの定理の別証明 上: 重心座標 前: 三線座標