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二円が交わらないときは？

拓生　 次の疑問が解決しないのです．

1. 求める円はいつもつねに $(x^2+y^2-1)+k \{(x-2)^2+(y-1)^2-4 \}=0$ または $h(x^2+y^2-1)+ \{(x-2)^2+(y-1)^2-4 \}=0$ という形をしているのでしょうか．他 に全然違う形の円はないのでしょうか．この形をしたなかで求めるだけで題意を満 たすすべての円が求まるのでしょうか．
2. $k=-1$ のときは交点を通る直線になります．しかし二円が交点をもたなくて も同様の方法で何かある直線は作れます．たとえば
   
   $$(-1)(x^2+y^2-1)+(x-3)^2+(y+2)^2-4=0$$
   
   
   です．このとき，この直線はいったいどのような意味があるのですか．

南海　 まず(1)についてだが，同一直線上にない三点があれば， その三点を通る円は一つしかない．なぜかな?

拓生　 二つの線分の，それぞれの垂直二等分線の交点として中心が定まるからです．

南海　 そうだ．また別の観点からいえば，円は，中心の $x$ 座標， $y$ 座標， 半径の三つが定まれば定まる．三点を通るということで連立方程式を立てればこの三定数が定まる．

拓生　 その場合，三点が同一直線上にないということが，きっと連立方程式が解 ける条件になるのでしょうね．

私の疑問の(1)は，円の交点と他の一点が定まれば，円は一つに定まるので，一つの置き方で解が 求まれば，他に全然違う形の円はないのですね．

南海　疑問(1)に答えるという点では，それでよいのだが，疑問の(2)が(1)と関連 しているのです．