次： パスカルの定理 上： 根軸 前： 曲線族と「束」

一般的に考える

南海　 その関連を解明するのが次の問題です．その疑問(2)は次の 問題の(1)で解決されます．それから逆に疑問(1)を見直す． やってみてほしい．

定理 8
     二つの二次式

$$\left\{ \begin{array}{ll} f(x,y)&=x^2+y^2-2ax-2by+c\\ g(x,y)&=x^2+y^2-2px-2qy+r \end{array}\right.$$

がある． $f(x,y)=0,\,g(x,y)=0$ で円が定まるとし，その円を $C_f,\ C_g$ とする． このとき $C_f,\ C_g$ は同心円でないとする．

1. $xy$ 平面の点 $\mathrm{P}$ から $C_f$ と $C_g$ に接線を引きその接点をそれぞれ $\mathrm{T},\ \mathrm{S}$ とする． $\overline{\mathrm{PT}}=\overline{\mathrm{PS}}$ となる点 $\mathrm{P}$ の軌跡は
   
   $$-2(a-p)x-2(b-q)y+c-r=0$$
   
   

   以下このようにして定まる軌跡を「 $C_f$ と $C_g$ の根軸」と呼ぶ．

2. $-1$ でない実数 $k$ に対して， $h_k(x,\ y)=f(x,\ y)+kg(x,\ y)$ とおき, $h_k(x,\ y)=0$ で円が定まるとき，これを $C_k$ とする．二円 $C_f,\ C_k$ の根軸は， 二円 $C_f,\ C_g$ の根軸と一致する．
3. 逆に，平面上の $C_f,\ C_g$ とは異なる円 $C$ と $C_f$ との根軸が， 二円 $C_f,\ C_g$ の根軸と一致したとする．このとき円 $C$ の式はある実数 $j,\ k$ によって $h(x,\ y)=jf(x,\ y)+kg(x,\ y)=0$ と表される．

拓生　

証明

1. 円の中心を $\mathrm{O}_f,\ \mathrm{O}_g$ とし，円の中心と半径を求める．
   
   $$\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2-2ax-2by+c=(x-a)^2+(y-b)^... ...y^2-2px-2qy+r=(x-p)^2+(y-q)^2-p^2-q^2+r \end{array} \right.$$
   
   
   よって， $\mathrm{O}_f(a,\ b)，\mathrm{O}_g(p,\ q)$ ， 半径の二乗は $a^2+b^2-c,\,p^2+q^2-r$ である． $\mathrm{P}(X,\ Y)$ とする．
   
   $$\left\{ \begin{array}{ll} \overline{\mathrm{PS}}^2&=\over... ...2+(Y-q)^2 \}-(p^2+q^2-r) \\ &=g(X,\ Y) \end{array} \right.$$
   
   
   よって点 $\mathrm{P}$ は $f(X,\ Y)=g(X,\ Y)$ を満たす点である．つまり求める軌跡は，
   
   $$-2(a-p)x-2(b-q)y+c-r=0$$
   
   

2. 
   
   $$\begin{array}{ll} h_k(X,\ Y)&=f(X,\ Y)+kg(X,\ Y) \\ &=(x... ...-\dfrac{2(b+kq)}{1+k}y+\dfrac{c+kr}{1+k} \right\} \end{array}$$
   
   
   である．ここで，
   
   $$\begin{array}{ll} &-2ax+\dfrac{2(a+kp)}{1+k}x-2by+\dfrac{2... ...{1+k}\left\{-2(a-p)x-2(b-q)y+c-r \right\}\\ =&0 \end{array}$$
   
   
   である．二円 $C_f,\ C_k$ の根軸は， 二円 $C_f,\ C_g$ の根軸と一致する．
3. 円 $C$ の式 $h(x,\ y)$ を
   
   $$h(x,\ y)=x^2+y^2-2sx-2ty+u$$
   
   
   と置く．題意より二つの根軸：
   $$\begin{eqnarray*} -2(s-a)x-2(t-b)y+u-c=0 \\ -2(a-p)x-2(b-q)y+c-r=0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   が一致する．よってある実数 $l$ があって，
   
   $$\left\{ \begin{array}{l} s-a=l(a-p) \\ t-b=l(b-q) \\ u-c=l(c-r) \end{array} \right.$$
   
   
   つまり
   
   $$\left\{ \begin{array}{l} s=(l+1)a-lp \\ t=(l+1)b-lq \\ u=(l+1)c-lr \end{array} \right.$$
   
   
   と表される．よって，
   
   $$h(x,\ y)=(l+1)f(x,\ y)-lg(x,\ y)$$
   
   
   つまり $j=l+1,\ k=-l$ と置けばよい．□

南海　 なかなか見事なものだ．これで君の疑問はすべて解決したな．また， 二円が共有点を持つときは，その二点を通る他の円は，従って根軸が共通な円であり，問題の (3)によって，必ずもとの二円によって， $j(一の円)+k(二の円)=0$ と表せる．

拓生　 私の疑問(2)が解けました．二円の接点までの距離が等しい点の軌跡 として根軸を定義する．その根軸という考え方に立てば，二円が，二点で交わっているか， 接しているか，離れているかは，無関係なのですね．

南海　なお関連入試問題として，91年東大後期をよく考えておいてほしい．これは，2円の直行する円群は共通の根軸をもつということを意味している．