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ある図形問題の解法

伍郎　 最近，次の問題をしました． 私の解答をあわせて，書きます．

演習 1   $\bigtriangleup \mathrm{OAB}$の辺 $\mathrm{OA}，\mathrm{OB}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{C},\ \mathrm{D}$をとり$\mathrm{AD}$と $\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする． また，2点 $\mathrm{Q},\ \mathrm{R}$を四角形$\mathrm{OCQD}$， 四角形$\mathrm{OARB}$がそれぞれ平行四辺形となるようにとる． このとき， 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$は一直線上にあることを示せ．

解答

$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}},\... ...row{\mathrm{OD}}=l\overrightarrow{\mathrm{OB}}\ \ (0<k,\ l<1)$$

とおく．さらに

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha\overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \beta\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$

とする．このとき

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha\overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \beta\cdot\dfrac{1}{l}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$$

点$\mathrm{P}$が$\mathrm{AD}$上にあるので

$$\alpha+\dfrac{\beta}{l}=1$$

同様に

$$\dfrac{\alpha}{k}+\beta=1$$

これから

$$\alpha=\dfrac{k-kl}{1-kl},\ \beta=\dfrac{l-kl}{1-kl}$$

また

$$\begin{eqnarray*} &&\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+ ... ...{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \overrightarrow{\mathrm{OD}} \end{eqnarray*}$$

である．ゆえに

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\mathrm{PR}}&=&\overrightarrow{\mathrm{OR}} -\... ...)\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1-kl)\overrightarrow{\mathrm{PR}} \end{eqnarray*}$$

よって $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ が平行となり， 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$は一直線上にある． □

これはベクトルの威力がわかる証明です．

質問は2点あって，

1. 図形的な証明はどのようにすればよいのか．
2. どのような一般化があるのか．

ということです．

南海　 うん，このようなことを考えるのは大変いいことだ．

まず図形的な証明だが．メネラウスの定理を使えばできる．

念のためにメネラウスの定理を示しておこう．

定理 1 (メネラウスの定理)
$\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の 頂点 $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$に対し， 点 $\mathrm{A},\ \mathrm{C}$の対辺上に2点 $\mathrm{P},\ \mathrm{R}$と 点$\mathrm{B}$対辺の延長線上に1点$\mathrm{Q}$をとるか， またはそれぞれの対辺の延長線上に 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$をとる． いずれの場合も，

1. 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$が一直線上にあれば $\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}\cdot \dfrac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}\cdot \dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1$となる．
2. $\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}\cdot \dfrac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}\cdot \dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1$なら 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$ は一直線上にある．

        

(1)をメネラウスの定理といい， (2)をメネラウスの定理の逆という． 要するに条件

$$\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}\cdot \dfrac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}\cdot \dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1$$

と3点が1直線上にあることが同値であるということである．

証明
(1) 点$\mathrm{C}$から $\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2$に平行な 直線$\mathrm{CS}$を引く．

$$\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}} =\dfrac{\mathrm{RS}}{\mathr... ...ac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}} =\dfrac{\mathrm{RA}}{\mathrm{SR}}$$

となる.     

$$∴\quad \dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}\cdot \dfrac{\mathr... ...thrm{RA}}{\mathrm{SR}}\cdot \dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1$$

(2) 直線 $\mathrm{B}_1\mathrm{A}_2$と直線$\mathrm{BC}$の交点を $\mathrm{P}'$とする． このとき

$$\dfrac{\mathrm{P'C}}{\mathrm{BP'}}\cdot \dfrac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}\cdot \dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1$$

となる．一方， $\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}\cdot \dfrac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}\cdot \dfrac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=1$なので

$$\dfrac{\mathrm{P'C}}{\mathrm{BP'}} =\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}$$

となり， $\mathrm{P}'=\mathrm{P}$である． つまり， 3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$ は一直線上にあることが示された． □

南海　 これを用いて先の演習問題の図形的な証明を考えよう．

$\mathrm{CQ}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{S}$とおこう． これを先の図に書き込む．

方針は， $\bigtriangleup \mathrm{CBS}$と， 辺または辺の延長上の3点 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{R}$に 関して，メネラウスの定理の逆を用いて， この3点が一直線上にあることをいいたい．

伍郎　 そのためには，

$$\dfrac{\mathrm{PB}}{\mathrm{CP}}\cdot \dfrac{\mathrm{RS}}{\m... ...}\cdot \dfrac{\mathrm{QC}}{\mathrm{SQ}}=1 \quad \cdots\maru{1}$$

がいえればよい．

南海　 $\bigtriangleup \mathrm{OCB}$と直線$\mathrm{AD}$ に関してメネラウスの定理を用いると何が得られるか．

伍郎　

$$\dfrac{\mathrm{PB}}{\mathrm{CP}}\cdot \dfrac{\mathrm{DO}}{\m... ...}\cdot \dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{OA}}=1 \quad \cdots\maru{2}$$

です． あっ， $\mathrm{OB}$と$\mathrm{CS}$は平行， $\mathrm{OA}$と $\mathrm{C}_1\mathrm{A}_2$も平行だから

$$\dfrac{\mathrm{DO}}{\mathrm{BD}} =\dfrac{\mathrm{QC}}{\mathr... ...c{\mathrm{AC}}{\mathrm{OA}} =\dfrac{\mathrm{RS}}{\mathrm{BR}}$$

これを$\maru{2}$に代入すれば$\maru{1}$そのものだ．□

わかりました．意外に簡単なのですね．

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