凸関数

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凸関数

南海　　次の凸関数だ．凸関数の定義そのものは次のようになる．

関数が定義域で「凸である」とは，定義域内の任意の2点 $x_1,\ x_2$ に対して

$\begin{displaymath} f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)-\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \end{displaymath}$

の正負の符号が一定であること，である．

が連続なら内分点で

$\begin{displaymath} f\left(\dfrac{(1-t)x_1+tx_2}{2}\right)-\dfrac{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}{2} \end{displaymath}$

の正負の符号が一定である，として同値である．

さらに2回微分可能なら定義域で二次導関数の正負が一定である，として同値である（ここではこれらの証明は略する）．

ここでは，二次導関数の符号が一定である関数を凸関数と定め，なぜこのとき「凸関数」というのかを次の定理で理解したい．

定理 6

関数は定義域で2回微分可能で，の正負は一定である．このとき定義域内のの $n\ \ (n \ge 3)$ 個の値

$\begin{displaymath} x_1<x_2<\cdots<x_n \end{displaymath}$

に対する

平面上の

個の点

$\begin{displaymath} \mathrm{A}_1(x_1,\ f(x_1)),\ \mathrm{A}_2(x_2,\ f(x_2)),\ \cdots,\ \mathrm{A}_n(x_n,\ f(x_n)) \end{displaymath}$

で定まる

角形を考える．次のことが成り立つ．

平面の二つの領域を

$\begin{displaymath} D_+=\{(x,\ y)\vert y-f(x)\ge 0 \},\ D_-=\{(x,\ y)\vert y-f(x)\le 0 \} \end{displaymath}$

とする．多角形 $\mathrm{A_1A_2 \cdots A_n}$ をとする．はかのいずれか一方に含まれる．
多角形は凸多角形である．

証明

として示す．

まず定義域内の $x_1\le x_2$ と実数 $r_1,\ r_2>0,\ r_1+r_2=1$ に対して

$\begin{displaymath} r_1f(x_1)+r_2f(x_2)\le f(r_1x_1+r_2x_2),\ 等号成立は\ x_1=x_2\ のとき \end{displaymath}$
を示す．

$\begin{displaymath} x_1\le r_1x_1+r_2x_2 \le x_2 \end{displaymath}$

である．ここで二つの区間 $[x_1,\ r_1x_1+r_2x_2],\ [r_1x_1+r_2x_2,\ x_2]$ に対して平均値の定理を用いると， $x_1<c_1<r_1x_1+r_2x_2,\ r_1x_1+r_2x_2<c_2<x_2$ で

$\begin{displaymath} \dfrac{f(r_1x_1+r_2x_2)-f(x_1)}{r_1x_1+r_2x_2-x_1}=f'(c_1), \ \dfrac{f(x_2)-f(r_1x_1+r_2x_2)}{x_2-(r_1x_1+r_2x_2)}=f'(c_2) \end{displaymath}$

となるものがある．より

$\begin{displaymath} ∴ \quad \dfrac{f(r_1x_1+r_2x_2)-f(x_1)}{r_1x_1+r_2x_2-x_1} >\dfrac{f(x_2)-f(r_1x_1+r_2x_2)}{x_2-(r_1x_1+r_2x_2)} \end{displaymath}$

なのでこれから

$\begin{displaymath} \dfrac{f(r_1x_1+r_2x_2)-f(x_1)}{r_2}>\dfrac{f(x_2)-f(r_1x_1+r_2x_2)}{r_1} \end{displaymath}$

これから

$\begin{displaymath} r_1f(x_1)+r_2f(x_2)\le f(r_1x_1+r_2x_2) \end{displaymath}$

明らかに等号はのときのみ．
したがって角形のすべての辺がにあるので，自身がにある．
$\mathrm{A},\ \mathrm{B}\in K$ をとる． $\mathrm{A}(a,\ c)$ ， $\mathrm{B}(b,\ d)$ とし $\mathrm{P}(a,\ f(a))$ ， $\mathrm{Q}(b,\ f(b))$ とおく．
$\mathrm{A},\ \mathrm{B}\in K \subset D_-$ なので $c\le f(a)$ ， $d\le f(b)$ である．に対して

$\begin{displaymath} \overrightarrow{\mathrm{OL}} =(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \end{displaymath}$

とする．

$\begin{displaymath} (1-t)c+td \le (1-t)f(a)+tf(b) \end{displaymath}$

一方角形の頂点の座標が

$\begin{displaymath} x_{j-1}<(1-t)c+td\le x_j \end{displaymath}$

と配置されているとする．

(1)から図のように辺 $\mathrm{A_{j-1}}\mathrm{A_j}$ と点 $\mathrm{L}$ は直線 $\mathrm{PQ}$ に関して反対の側にある．したがって $\mathrm{L}$ が角形の外に出ることはない．つまり線分 $\mathrm{AB}\subset K$ となりが凸多角形であることがわかる．□