上: 単位分数のエジプト分数による下からの近似 前: 1変数のムーアヘッドの不等式

一般化定理の証明

この証明は，文献［1］の証明を 単位分数の下からの近似の場合に一般化したものである．

定理1の証明

$n$についての数学的帰納法で示す．

$n=1$のときは$q_1=N+1$なので $\dfrac{1}{a_1}<\dfrac{1}{N}$ なら$a_1>N$，つまり$a_1\ge q_1$である．よって

$$\dfrac{1}{a_1}\le \dfrac{1}{q_1}$$

は成立し，等号成立は$a_1=q_1$のときにかぎる．

定理1の$n-1$以下での成立を仮定する．

$$\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n} =\dfrac{X}{a_1a_2\cdots a_n}$$

と表すとき， $\dfrac{X}{a_1a_2\cdots a_n}<\dfrac{1}{N}$より $NX\le a_1a_2\cdots a_n-1$である． よって

$$\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n} \le\dfrac{a_1a_2\cdots a_n-1}{Na_1a_2\cdots a_n}$$

である． 補題1より

$$\dfrac{1}{q_1}+\cdots+\dfrac{1}{q_n}= \dfrac{1}{N}-\dfrac{... ..._2\cdots q_n} =\dfrac{q_1q_2\cdots q_n-1}{Nq_1q_2\cdots q_n}$$

なので， $a_1a_2\cdots a_n<q_1q_2\cdots q_n$なら

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n} &\le&\dfrac{a_1a_2\cdot... ...ac{1}{Nq_1q_2\cdots q_n} =\dfrac{1}{q_1}+\cdots+\dfrac{1}{q_n} \end{eqnarray*}$$

となり成立．

以下では $a_1a_2\cdots a_n\ge q_1q_2\cdots q_n$とする．

$a_n\ge q_n$のとき． 帰納法の仮定により $\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n-1}}\le\dfrac{1}{q_1}+\cdots+\dfrac{1}{q_{n-1}}$は成立． $\dfrac{1}{a_n}\le\dfrac{1}{q_n}$より，

$$\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\le\dfrac{1}{q_1}+\cdots+\dfrac{1}{q_n}$$

が成立し，等号成立条件も成立する．

$a_n<q_n$のとき． このとき不等式の成立と等号の不成立を示せばよい．

$a_1a_2\cdots a_n\ge q_1q_2\cdots q_n$とあわせると， 番号$l$で $a_la_{l+1}\cdots a_n\ge q_lq_{l+1}\cdots q_n$となる最大のものがある． それを$l$とする．$l\le n-1$である．

$$\begin{eqnarray*} &&a_la_{l+1}\cdots a_n\ge q_lq_{l+1}\cdots q_n,\ \\ &&a_{l+... ... a_{l+2}\cdots a_n<q_{l+2}\cdots q_n,\ \cdots ,\ a_n<q_n \end{eqnarray*}$$

であるから

$$a_l>q_l,\ a_la_{l+1}>q_lq_{l+1},\ \cdots,\ a_la_{l+1}\cdots a_{n-1}>q_lq_{l+1}\cdots q_{n-1}$$

である．有理数$r$と整数$a_{n+1}$を

$$r=q_n\cdot\dfrac{a_la_{l+1}\cdots a_n}{q_lq_{l+1}\cdots q_n},\ a_{n+1}=q_n$$

で定める．

$$q_n\le r,\ a_n<q_n=a_{n+1}$$

である．ここで

$$\begin{eqnarray*} &&s_i=\log(q_{l+i-1}),\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-l+1),\ s_{n-l+2}=\log r\\ &&t_i=\log(a_{l+i-1}),\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-l+2) \end{eqnarray*}$$

とする．この実数の列は条件

$$0\leq s_1\leq\cdots\leq s_{n-l+2},\ \quad 0\leq t_1\leq\dots\leq t_{n-l+2}$$

を満たし，さらに

$$\begin{eqnarray*} &&\sum_{i=1}^{n-l+2} s_i=\log\left(q_n\cdot a_la_{l+1}\cdots ... ...}&&\sum_{i=1}^k s_i \leq \sum_{i=1}^k t_i\;\; (k=1,\dots,n-l+1) \end{eqnarray*}$$

を満たす．ただし$k=1,\dots,n-l$の範囲では等号不成立．

よって，数列 $\{s_i\}，\{t_i\}$は補題2の条件を満たす．

$x=e^{-1}$ で補題2を用いる．この場合，$x\ne 1$から，等号は成立しない．

\[ \sum_{i=1}^{n-l+2}e^{-s_i}=\sum_{i=1}^{n-l+1}e^{-\log(q_{l+i-1})}+e^{-\log r} > \sum_{i=1}^{n-l+2}e^{-t_i}=\sum_{i=1}^{n-l+2}e^{-\log(a_{l+i-1})} \]

を得る．これから

$$\sum_{i=1}^{n-l+1}\dfrac{1}{q_{l+i-1}}+\dfrac{1}{r} > \sum_{i=1}^{n-l+2}\dfrac{1}{a_{l+i-1}}$$

を得る．ここで，$a_{n+1}\le r$より $\dfrac{1}{a_{n+1}}\ge \dfrac{1}{r}$なので，

$$\dfrac{1}{a_l}+\dfrac{1}{a_{l+1}}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}< \dfrac{1}{q_l}+\dfrac{1}{q_{l+1}}+\cdots+\dfrac{1}{q_n}$$

である． 帰納法の仮定から

$$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{l-1}}\le \dfrac{1}{q_1}+\dfrac{1}{q_2}+\cdots+\dfrac{1}{q_{l-1}}$$

は成立．両辺加えて$n$のときの成立が示され，等号成立条件も成立する． （証明終わり）

 

参考文献

［1］

APPROXIMATING 1 FROM BELOW USING n EGYPTIAN FRACTIONS， （by K.SOUNDRARAJAN）

［2］

『不等式』（G.H.ハーディ／J.E.リトルウッド著，細川尋史訳，シュプリンガー社）

［3］

「対称式と不等式」(示野信一著，数学セミナー2009年2月号所収)

［4］

「ムーアヘッドの不等式とその応用」 （青空学園数学科内の『数学対話』所収）

2013年6月24日

 Approximating a unit fraction from below using n egyptian fractions