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ベクトル空間の基底

南海　 ベクトルの一次独立性を定義しよう．

定義 3 (一次独立)
ベクトル空間$V$の$p$個のベクトル $\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_p$ がある． 任意の実数 $k_1,\ k_2,\ \cdots,\ k_p$に対して

\begin{eqnarray*} && k_1\mathrm{\bf u}_1+k_2\mathrm{\bf u}_2+\cdots+k_p\mathrm{\bf u}_p=0\\ &\iff&k_1=k_2=\cdots=k_p=0 \end{eqnarray*}

が成り立つとき， $\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_p$ は実数体上一次独立であるという．

$\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_p$ が一次独立であることは，

\begin{eqnarray*} &&x_1\mathrm{\bf u}_1+x_2\mathrm{\bf u}_2+\cdots+x_p\mathrm{\b... ...thrm{\bf u}_p=0\\ &\iff& x_1=y_1,\ x_2=y_2,\ \cdots,\ x_p=y_p \end{eqnarray*}

でもあることに注意しよう．

さて，ベクトル空間$V$の$p$個のベクトル $\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_p$ は一次独立で，さらに， $\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_p$ に，これらと異なる0ベクトルでない$V$のベクトル $\mathrm{\bf u}$をどのように選んで加えても， それを加えた $\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_p$はもはや一次独立ではないとき， $\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_p$は$V$の 最大独立系をなすという．

定義から最大独立系に属するベクトルは零ベクトルではない． $\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_p$ が最大独立系のとき，$V$の任意のベクトル $\mathrm{\bf u}$に対し実数 $a,\ a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_p$を選んで，

\begin{displaymath} a\mathrm{\bf u}+ a_1\mathrm{\bf u}_1+a_2\mathrm{\bf u}_2+\cdots+a_p\mathrm{\bf u}_p=\mathrm{\bf0} \end{displaymath}

とすることができる． $\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_p$は一次独立であるから $a\ne 0$であり，したがって各係数を$a$で割ったものを改めてとりなおせば $V$の任意のベクトル $\mathrm{\bf u}$を

\begin{displaymath} \mathrm{\bf u}= a_1\mathrm{\bf u}_1+a_2\mathrm{\bf u}_2+\cdots+a_p\mathrm{\bf u}_p \end{displaymath}

表すことができる． このことに注意して次の定理を証明しよう．

定理 1
$V$の二つの最大独立系

$ \mathrm{u_1,\ u_2,\ \cdots,\ u_p}$
$ \mathrm{v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_q}$


がある．このとき$p=q$が成り立つ．

証明

$p\ne q$とし，$p>q$とする． $\mathrm{\bf u}_1$は

$ \mathrm{u_1}=a_1\mathrm{v_1}+a_2\mathrm{v_2}+\cdots+a_q\mathrm{v_q}$


と表すことができる． $\mathrm{\bf u}_1\ne \mathrm{\bf0}$なので， 右辺の係数のうちの少なくとも一つは0ではない．必要なら番号をつけ替えて$a_1\ne 0$とする． 等式を$a_1$で割り移項すれば，ベクトル $\mathrm{\bf v}_1$が

$ \mathrm{u_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_q}$


によって表された． $V$の任意のベクトルを $\mathrm{v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_q}$で表した式があるとする．

$\mathrm{\bf v}_1$に， $\mathrm{\bf v}_1$を $ \mathrm{u_1,\ v_2,\ \cdots,\ u_q} $ で表したものを代入することにより，$V$の任意のベクトルが， $ \mathrm{u}_1,\ \mathrm{v}_2,\ \cdots,\ \mathrm{u}_q$ で表される． よって特に $\mathrm{\bf u}_2$が

$\mathrm{u_2}= b_1\mathrm{u_1}+b_2\mathrm{v_2}+\cdots+b_q\mathrm{v_q}$


と表される． $\mathrm{\bf u}_1$と $\mathrm{\bf u}_2$は一次独立なので， $b_2,\ b_3,\ \cdots,\ b_q$がすべて0ということはない． $b_2\ne 0$とする． 同様に考え， $\mathrm{\bf v}_2$が

$\mathrm{u_1},\ \mathrm{u_2},\ \mathrm{v_3},\ \cdots,\ \mathrm{v_q}$


で表すことができた． 同様の手順で

$\mathrm{v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_q}$


を

\begin{displaymath} \mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_q \end{displaymath}

で置きかえることができる．つまり

\begin{displaymath} \mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_q \end{displaymath}

で$V$の他の任意のベクトルを表すことができる．特に $\mathrm{\bf u}_{q+1},\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_p$も表すことができる． これは $\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_p$ が最大独立系であることに矛盾する．

したがって$p>q$ではあり得ない． つまり$p=q$であることが示された．□

耕一　 そうか．わかった．ベクトル空間の次元とは， 最大独立系のベクトルの個数なのです． 平面ベクトルでは2個の一次独立なベクトルがとれ， 空間ベクトルでは3個の一次独立なベクトルがとれる．

南海　 次元の定義はいろいろある．しかし実数体上のベクトル空間に関して言えば， いま言ったとおり最大独立系をなすベクトルの個数と考えてよい．

耕一　 では大きさは？


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