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固有値と固有ベクトル

南海　 線型写像$f$に対して，一組の基底

$$\left( \mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n \right)$$

をとると，線型写像$f$には，その基底の像をもとの基底で表したとき

$$\left\{ f(\mathrm{\bf e}_1),\ f(\mathrm{\bf e}_2),\ \cdots,\... ...ots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&\cdots&a_{nn} \end{array}\right)$$

となる行列

$$A= \left( \begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&\cdots... ...ots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&\cdots&a_{nn} \end{array}\right)$$

が対応するのだった． そこで基底をうまくとって， この行列が対角行列になるようにできないか，という問題が起こる． ただし，対角行列とは，

$$a_{ij}=0\quad (i\ne j)$$

となる行列のことをいう．

耕一　 それは

$$\left\{ f(\mathrm{\bf e}_1),\ f(\mathrm{\bf e}_2),\ \cdots,\... ...\cdots&\cdots\\ 0&0&\cdots&\cdots&a_{nn} \end{array}\right)$$

つまり

$$f(\mathrm{\bf e}_k)=a_{kk}\mathrm{\bf e}_k\quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$$

となる1次独立な$n$個のベクトルが見つかればいいということですね．

南海　 そこで，線型写像$f$に対して

$$f(\mathrm{\bf u})=t\mathrm{\bf u}$$ (1.3)

となるベクトル $\mathrm{\bf u}$を， 固有値$t$に対する固有ベクトルという． 固有値と固有ベクトルを具体的に計算するために， 一組の基底が固定され，線型写像が上のように行列で表されているとする．

耕一　 すると関係式(1.3)は

$$A\mathrm{\bf u}=t\mathrm{\bf u}$$

となります．

南海　 $E$を単行列とすれば

$$(A-tE)\mathrm{\bf u}=\mathrm{\bf0}$$

である．零ベクトルでない解 $\mathrm{\bf u}$が存在するためには，行列式

$$\vert A-tE\vert= \left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11}-t&... ...a_{n1}&a_{n2}&\cdots&\cdots&a_{nn}-t \end{array}\right\vert=0$$

が必要十分な条件である． この行列式は$t$の$n$次多項式である． これを固有多項式という．

耕一　 $n=2$のとき．

$$\left\vert \begin{array}{cc} a_{11}-t&a_{12}\\ a_{21}&a_... ...}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array}\right\vert$$

$n=3$のときは複雑になります．

$$\begin{eqnarray*} \left\vert \begin{array}{ccc} a_{11}-t&a_{12}&a_{13}\\ a_{... ...}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}$$

南海　 うまく行列や小行列でまとめた．

耕一　 線型写像$f$に対して一組の基底をとり，行列$A$を定め， それによって固有多項式ができました． 基底のとり方をかえれば多項式は変わるのですか．

南海　 基底のとり方をかえれば，対応する行列は

$$P^{-1}AP$$

に変わる．このとき

$$\begin{eqnarray*} \vert P^{-1}AP-tE\vert&=&\vert P^{-1}AP-tP^{-1}P\vert\\ &=&\v... ...ert P^{-1}\vert\vert A-tE\vert\vert P\vert\\ &=&\vert A-tE\vert \end{eqnarray*}$$

なので，固有多項式は変わらない．つまり固有多項式は線型写像によって定まる． それでこれ以降，固有多項式を$P_f(t)$のように表すことにする． すると既に見たように，$n$次方程式

$$P_f(t)=0$$

の根$\alpha$に対して

$$f(\mathrm{\bf u})=\alpha\mathrm{\bf u}$$

となるベクトル $\mathrm{\bf u}$が存在する．

これが固有値$\alpha$に対応する固有ベクトルである．

定理 5
線型写像$f$の固有多項式を$P_f(t)$とする．$n$次方程式

$$P_f(t)=0$$

に異なる0でない根 $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_m\ (m \ge 2)$ があるとき，それらの根に対応する固有ベクトル

$$\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_m$$

は一次独立である．

証明

$m$についての数学的帰納法で示す．

$m=2$のとき． $\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2$が一次従属なら

$$\mathrm{\bf u}_2=k\mathrm{\bf u}_1$$

となる0でない数$k$がある．ところが

$$\begin{eqnarray*} f(\mathrm{\bf u}_2)&=&f(k\mathrm{\bf u}_1)\\ &=&kf(\mathrm{\b... ...bf u}_1\\ &=&\alpha_1k\mathrm{\bf u}_1=\alpha_1\mathrm{\bf u}_2 \end{eqnarray*}$$

となり，ベクトル $\mathrm{\bf u}_2$の固有値が$\alpha_1$となる． これは $\alpha_1\ne \alpha_2$に反する．

$m-1$のとき成立するとし，$m$のときも成立することを示す． ここで，

$$\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_m$$

は一次従属であるとする． するとベクトル $\mathrm{\bf u}_m$は， すべては0ではない係数 $h_j\ (j=1,\ 2,\ \cdots,\ m-1)$を用いて

$$\mathrm{\bf u}_m=\sum_{j=1}^{m-1}h_j\mathrm{\bf u}_j$$

と他の$m-1$個のベクトルで表される．

$$f(\mathrm{\bf u}_m)=\sum_{j=1}^{m-1}h_jf(\mathrm{\bf u}_j)$$

より

$$\alpha_m\mathrm{\bf u}_m=\sum_{j=1}^{m-1}h_j\alpha_j\mathrm{\bf u}_j$$

これから

$$\alpha_m\left(\sum_{j=1}^{m-1}h_j\mathrm{\bf u}_j \right) =\sum_{j=1}^{m-1}h_j\alpha_j\mathrm{\bf u}_j$$

数学的帰納法の仮定から

$$\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_{m-1}$$

は一次独立である． したがって

$$\alpha_mh_j=h_j\alpha_j \ (j=1,\ 2,\ \cdots,\ m-1)$$

$h_j$のうちには0でないものが存在するので， $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_m\ (m \ge 2)$がすべて異なることとに反する． ゆえに

$$\mathrm{\bf u}_1,\ \mathrm{\bf u}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf u}_m$$

は一次独立である． $m$で成立したので，定理が示された．□

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