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内積と二次形式

南海　 $n$次元ベクトル空間$V$の内積をもう一度考えよう．

いま一組の基底 $\mathrm{\bf e}_1,\ \mathrm{\bf e}_2,\ \cdots,\ \mathrm{\bf e}_n$ をとる． 内積は1節ですでに定義している． ベクトル空間$V$の2つのベクトル $\mathrm{\bf u}$と $\mathrm{\bf v}$に対して内積 $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$といわれる実数値が定まる， その定義は内積の定義(4)を見てほしい． 一言でいえば，2つのベクトルを変数とし， 双線型で正の値をとる対称実数値関数ということである．

$$\begin{eqnarray*} &&\mathrm{\bf u}=x_1\mathrm{\bf e}_1+x_2\mathrm{\bf e}_2+\cdot... ...1\mathrm{\bf e}_1+y_2\mathrm{\bf e}_2+\cdots+y_n\mathrm{\bf e}_n \end{eqnarray*}$$

とする．このとき

$$\begin{eqnarray*} &&B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v}) =B\left(\sum_{i=1}^nx_i\m... ... \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ \cdots\\ y_n \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

と基底によって定まる一定の行列を用いて表される．

耕一　

$$B(\mathrm{\bf e}_i,\ \mathrm{\bf e}_j)=B(\mathrm{\bf e}_j,\ \mathrm{\bf e}_i)$$

なので，この行列は左上から右下への対角線に関して対称です．

南海　 このような行列を対称行列と呼ぼう． またベクトル

$$\mathrm{\bf u}=x_1\mathrm{\bf e}_1+x_2\mathrm{\bf e}_2+\cdots+x_n\mathrm{\bf e}_n$$

を

$$\mathrm{\bf u}=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$$

のように成分で書いて1行$n$列の行列と同一視しよう．そして縦に書いたベクトルは

$${}^{t}\mathrm{\bf v}=\left( \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ \cdots\\ y_n \end{array}\right)$$

のように表す． 一般に記号${}^tA$は行列$A$の$i$行$j$列の成分を$j$行$i$列の成分と入れ替えた行列を表す． ${}^tA$を行列$A$の転置行列という． すると内積は対称行列$A$を用いて

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})=\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}$$

と書くことができる．ただし

$$A=\biggl( B(\mathrm{\bf e}_i,\ \mathrm{\bf e}_j) \biggr)$$

である．

耕一　 逆に対称行列$A$を用いて

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})=\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}$$

で $B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})$を定義すると，これは内積になりますか． あっ，正の値をつねにとるかどうかがわからないのですね．

南海　 双線型な実数値関数が得られるが，正値かどうかは未定である． 一般に，基底を一つ固定したとき対称行列$A$に対して定まる

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v})=\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}$$

を双線型形式と呼ぼう． また対称行列に対して定まる

$$Q(\mathrm{\bf u})=\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf u}$$

を二次形式と呼ぼう．

二次形式があれば次のようにして双線型形式が定まる．

$$B(\mathrm{\bf u},\ \mathrm{\bf v}) =\dfrac{1}{2}\left\{Q(\ma... ...\mathrm{\bf v}) -Q(\mathrm{\bf u})-Q(\mathrm{\bf v}) \right\}$$

これが双線型形式であることを確認してほしい．

耕一　

$$\begin{eqnarray*} Q(\mathrm{\bf u}+\mathrm{\bf v})&=& (\mathrm{\bf u}+\mathrm{\b... ...\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}+ \mathrm{\bf v}A{}^{t}\mathrm{\bf u} \end{eqnarray*}$$

ですが，$A$が対称行列なので

$$\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}= \mathrm{\bf v}A{}^{t}\mathrm{\bf u}$$

です．ゆえに

$$\dfrac{1}{2}\left\{Q(\mathrm{\bf u}+\mathrm{\bf v}) -Q(\math... ...(\mathrm{\bf v}) \right\}=\mathrm{\bf u}A{}^{t}\mathrm{\bf v}$$

となります．

南海　

$$A=\left( \begin{array}{ccc} a&l&m\\ l&b&n\\ m&n&c \end{array}\right)$$

とし， $\mathrm{\bf u}=(x,\ y,\ z)$とすれば，二次形式とはどのようなものになるか．

耕一　

$$\begin{eqnarray*} Q(\mathrm{\bf u})&=&(x,\ y,\ z) \left( \begin{array}{ccc} a&... ...\ y\\ z \end{array}\right)\\ &=&ax^2+by^2+cz^2+2hxy+2lxz+2myz \end{eqnarray*}$$

です． ここで$z=1$とすると， 『数学対話』−「パスカルの定理」−「特別な場合の演習問題」に出てきた2次曲線の一般形です．