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不定方程式型［02中部大］

問題     

$f(x)=x-1$，$g(x)=(x+1)^3$であるとき

$$p(x)f(x)+q(x)g(x)=1$$

をみたす整式$p(x),\ q(x)$の組のなかで， $p(x)$の次数が最小である組， および， $p(x)$の最高次数の項の係数が1であるなかで，次数が最小の組をそれぞれ求めよ．

解1

$p(x)$は

$$p(x)(x-1)=-(x+1)^3q(x)+1$$

つまり，$p(x)(x-1)$を$(x+1)^3$で割った余りが1ということで特徴づけられる． ここで

$$(x+1)^3=(x^2+4x+7)(x-1)+8$$

なので

$$p(x)(x-1)=-\{(x^2+4x+7)(x-1)+8\}q(x)+1 \quad \cdots\maru{1}$$

従って$-8q(x)+1$が$x-1$で割りきれなければならない． $-8q(x)+1=(x-1)h(x)$とおく．これを$\maru{1}$に代入し$x-1$で約する．

$$\begin{eqnarray*} p(x)&=&(x^2+4x+7)\cdot\dfrac{(x-1)h(x)-1}{8}+h(x)\\ &=&(x+1)^3\cdot\dfrac{h(x)}{8}-\dfrac{x^2+4x+7}{8} \quad \cdots\maru{2} \end{eqnarray*}$$

このとき作り方から $p(x)(x-1)$を$(x+1)^3$で割ると1余る． つまり，$\maru{2}$の形に書けることが$p(x)$の満たすべき必要十分条件である．

$p(x)$の次数が最小であるのは$h(x)=0$のときで $p(x)=-\dfrac{x^2+4x+7}{8}$． このとき $q(x)=-\dfrac{(x-1)h(x)-1}{8}=\dfrac{1}{8}$.

$p(x)$の最高次数の項の係数が1であるなかで，次数が最小であるのは， $h(x)=8$のときで $p(x)=(x+1)^3-\dfrac{x^2+4x+7}{8} =x^3+\dfrac{23}{8}x^2+\dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{8}$． このとき $q(x)=-\dfrac{(x-1)8-1}{8}=-x+\dfrac{9}{8}$である．

解2

$$-\dfrac{x^2+4x+7}{8}\cdot(x-1)+\dfrac{1}{8}(x+1)^3=1$$

である． $p(x)f(x)+q(x)g(x)=1$から辺々引いて

$$\left\{p(x)+\dfrac{x^2+4x+7}{8} \right\}(x-1)+ \left\{q(x)-\dfrac{1}{8} \right\}(x+1)^3=0$$

$x-1$と$(x+1)^3$は互いに素なので

$$p(x)+\dfrac{x^2+4x+7}{8}=(x+1)^3T(x),\ \ q(x)-\dfrac{1}{8}=-(x-1)T(x)$$

と，ある整式$T(x)$を用いて書け，この形をしていれば条件を満たす． よって条件を満たす$p(x),\ q(x)$は一般的に

$$p(x)=-\dfrac{x^2+4x+7}{8}+(x+1)^3T(x),\ \ q(x)=\dfrac{1}{8}-(x-1)T(x)$$

と表される．

$p(x)$の次数が最小であるのは$T(x)=0$のときで $p(x)=-\dfrac{x^2+4x+7}{8}$， $q(x)=\dfrac{1}{8}$である.

$p(x)$の最高次数の項の係数が1であるなかで，次数が最小であるのは， $T(x)=1$のときで $p(x)=(x+1)^3-\dfrac{x^2+4x+7}{8} =x^3+\dfrac{23}{8}x^2+\dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{8}$． $q(x)=\dfrac{1}{8}-(x-1)=-x+\dfrac{9}{8}$である．