次: 数列の公約数［86東工大］ 上: 数学的帰納法か直接証明か 前: 数学的帰納法か直接証明か

一般項を求める［02福井大改題］

問題     

次のように定義される 数列 $\{ a_n \}$ の一般項を求めよ．

$$a_1=1,\ a_{n+1}=\dfrac{3}{n}(a_1+a_2+a_3+ \cdots +a_n)$$

方針

1.

推測して数学的帰納法．

2.

和の処理による直説法．

解1

$$a_2=3a_1=3,\ a_3=\dfrac{3}{2}(1+3)=6,\ a_4=\dfrac{3}{3}(1+3+6)=10$$

より

$$a_2-a_1=2,\ a_3-a_2=3,\ a_4-a_3=4$$

となるので $a_{n+1}-a_n=n+1$ と推測できる．これから $a_n$ は

$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}k+1=\dfrac{n(n+1)}{2}$$

と推測される．

これを数学的帰納法で示す． $n=1$ は成立．

$1\le m \le k$ の範囲の $m$ について $a_m=\dfrac{m(m+1)}{2}$ と仮定する．

このとき

$$\begin{eqnarray*} a_{k+1}&=&\dfrac{3}{k}\sum_{m=1}^k\dfrac{m(m+1)}{2}\\ &=&\dfr... ...1)m(m+1)}{3}\\ &=&\dfrac{k(k+1)(k+2)}{2k}=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \end{eqnarray*}$$

$n=k+1$ で成立し．すべての $n$ に対して $a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ． □

解2

$$\begin{eqnarray*} (n+1)a_{n+2}&=&3(a_1+a_2+a_3+ \cdots +a_{n+1})\\ na_{n+1}&=&3(a_1+a_2+a_3+ \cdots +a_n) \end{eqnarray*}$$

より

$$(n+1)a_{n+2}-na_{n+1}=3a_{n+1}\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$$

つまり

$$(n+1)a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}$$

両辺を $(n+1)(n+2)(n+3)$ で割って

$$\dfrac{a_{n+2}}{(n+2)(n+3)}=\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}$$

がすべての$n$で成立する．

$$∴\quad \dfrac{a_n}{n(n+1)}=\dfrac{a_2}{2\cdot3}=\dfrac{1}{2}$$

$n\ge 2$において

$$a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$

これは$n=1$のときも含めて成立する． □