次: 円周の分割［02東大文科］ 上: 数学的帰納法か直接証明か 前: 一般項を求める［02福井大改題］

数列の公約数［86東工大］

問題

整数 $a_n=19^n+(-1)^{n-1}2^{4n-3}\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のすべてを割り切る素数を求めよ．

方針

必要条件で候補を絞るところまでは同じであるが， 十分性の証明は

1.推測して数学的帰納法．

2.二項展開による直説法．

3.三項間漸化式よる数学的帰納法．．

 

の三通りある．

解答

$$\begin{eqnarray*} &&a_1=19+(-1)^{1-1}2^{4-3}=21=7\cdot 3\\ &&a_2=19^^2+(-1)^{2-1}2^{8-3}=21=7\cdot 47 \end{eqnarray*}$$

である．よって 整数 $a_n\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のすべてを割り切る素数があるなら， それは7である．

7が整数 $a_n\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のすべてを割り切ることを示す．

方法1     7が整数 $a_n\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のすべてを割り切ることを数学的帰納法で示す．

$n=1$のときは成立．

$n=k$のとき． $a_k=19^k+(-1)^{k-1}2^{4k-3}$が7の倍数であると仮定し， これを $19^k+(-1)^{k-1}2^{4k-3}=7N$とおく．このとき，

$$\begin{eqnarray*} a_{k+1}&=&19^{k+1}+(-1)^k2^{4k+1}\\ &=&19^{k+1}-16(-1)^{k-1}2... ...7N-19^k)\\ &=&19^{k+1}+16\cdot 19^k-16\cdot7N=7(5\cdot19^k+16N) \end{eqnarray*}$$

$a_{k+1}$も7の倍数となり， $a_n$はすべて7の倍数であることが示された．

方法2    

$$\begin{eqnarray*} a_n&=&19^n+(-1)^{n-1}2^{4n-3}\\ &=&(21-2)^n+(-1)^{n-1}2\cdot 2^{4(n-1)} =(21-2)^n+2(-16)^{n-1}\\ &=&(21-2)^n+2(-14-2)^{n-1} \end{eqnarray*}$$

二項定理

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-k}y^k+y^n$$

から，適当な整数$M$と$N$を用いて

$$\begin{eqnarray*} (21-2)^n&=&\sum_{k=0}^{n-1}21^{n-k}(-2)^k+(-2)^n=7M+(-2)^n\\ ... ...\left(\sum_{k=0}^{n-2}(-14)^{n-k}(-2)^k\right)-(-2)^n =7N-(-2)^n \end{eqnarray*}$$

と表せる．よって $a_n=7(M+N)$となり， $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して $a_n$は7の倍数である．