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方程式の解［88お茶の水］

問題     

方針

解1
$f(x)=3(a-1)x^2+6x-a-2$とおく．

$$f(0)=-a-2,\ \quad f(1)=2a+1$$

である．

1. $f(0)f(1)<0$，つまり$(a+2)(2a+1)>0$のとき， 中間値の定理から方程式$f(x)=0$は$0<x<1$に解をもつ．
2. $(a+2)(2a+1)\le 0$のとき．つまり $-2\le a \le -\dfrac{1}{2}$のとき．

   放物線$y=f(x)$は上に凸であり，
   

   $$f(0)=-a-2\le 0,\ \quad f(1)=2a+1\le 0$$
   
   
   である．$f(x)$の判別式を$D$とすると
   
   $$D/4=9+3(a-1)(a+2)=3(a^2+a+1) =3\left\{\left(a+\dfrac{1}{2} \right)^2+\dfrac{3}{4} \right\}>0$$
   
   
   さらにこの範囲の$a$に対し$f(x)$の軸 $x=\dfrac{1}{1-a}$は
   
   $$\dfrac{1}{3}\le \dfrac{1}{1-a}\le \dfrac{2}{3}$$
   
   
   にある．したがって$f(x)=0$は区間$0\le x \le 1$に2実数解をもち， $f(0)<0,\ f(1)<0$の少なくとも一方が成立するので，$0<x<1$に少なくとも1つの実数解をもつ．

(i), (ii)より方程式$f(x)=0$は$0<x<1$に少なくとも1つの実数解をもつ．

解2

1. $f(0)f(1)<0$のときまでは解1.と同じ．
2. $(a+2)(2a+1)\le 0$のとき． つまり $-2\le a \le -\dfrac{1}{2}$のとき．
   
   $$f\left(\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{3}{4}(a-1)+3-a-2= \dfrac{-a+1}{4}>0$$
   
   
   放物線$y=f(x)$は上に凸であり，
   
   $$f(0)=-a-2\le 0,\ \quad f(1)=2a+1\le 0$$
   
   
   である．よって$f(x)=0$は区間$0\le x \le 1$に2実数解をもち， $f(0)<0,\ f(1)<0$の少なくとも一方が成立するので， $0<x<1$に少なくとも1つの実数解をもつ．

解3
$f(0)<0$は$-2<a$と，$f(1)<0$は $a<-\dfrac{1}{2}$とそれぞれ同値である． $a$の2つの範囲をあわせると実数全体になるので，任意の実数$a$に対して $f(0)<0$または$f(1)<0$の少なくとも一方が成立する．

$$f(x)=a(3x^2-1)-3x^2+6x-2$$

から

$$f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) =-3\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+6\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)-2 =2\sqrt{3}-3>0$$

したがって $0<x<\dfrac{1}{\sqrt{3}}$または $\dfrac{1}{\sqrt{3}}<x<1$ の少なくとも一方の区間に$f(x)=0$は解をもつ．

解4

$$I=\int_0^1\{3(a-1)x^2+6x-a-2\}\,dx=\left[(a-1)x^3+3x^2-(a+2)x \right]_0^1 =0$$

区間$0<x<1$で$f(x)>0$または$f(x)<0$なら$I>0$または$I<0$となり， $I=0$に矛盾する．

よって方程式$f(x)=0$は$0<x<1$に少なくとも1つの実数解をもつ．

吟味

1.

これはいちばん標準的な解法である． その場合でも先に区間の端点の符号を調べておく方が簡明である．

2.

2次関数の場合， 多くは区間の中点の符号で判断できる．これは知っておきたい．

3.

任意の$a$で成立するのだから， $a$に関係ない$x$の値を調べようとした．

4.

これは$3(a-1)x^2$という形から試したのだ． 問題作成の舞台裏である．

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