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連立三角方程式［61静岡大］

問題     

$a,\ b$ を実数として

$$\left\{ \begin{array}{l} \cos 3\theta+2a\cos 2\theta+b\cos... ...\sin 3\theta+2a\sin 2\theta+b\sin \theta=0 \end{array}\right.$$

をともに満足させる実数 $\theta$ が存在するとき，$a,\ b$ の満たすべき条件を求めよ．

方針

1.

三角関数の連立方程式の問題として解ける．

2.

この連立方程式の2式は$\sin ,\ \cos$に関して同じ形をしている． ド・モアブルの定理という，昨今は習わないが，複素数の三角関数表示を用いることで， 複素数の実部と虚部と見なす方が自然だ．

解1

第2式から

$$-4\sin^3\theta +3 \sin \theta +4a\sin \theta\cos \theta +b \sin \theta=0$$

これから

$$\sin \theta=0,\ または\ -4\sin^2\theta +3 +4a\cos \theta +b=0$$

1. $\sin \theta=0$ の場合．整数 $n$ で$\theta=n \pi$とかける．

   これが第1式をみたせばよい．

   $$\begin{eqnarray*} &&\cos 3n \pi+2a\cos 2n \pi+b\cos n \pi\\ &=&(-1)^{3n}+2a(-1)^{2n}+b(-1)^n=0\\ &∴&1\pm 2a+b=0 \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $\theta\ne n \pi$で $-4\sin^2\theta +3 +4a\cos \theta +b=0$の場合．

   この式は
   

   $$4\cos^2\theta+4a\cos \theta +b-1=0 \quad \cdots(*)$$
   
   
   となる．また，連立方程式の第1式は
   
   $$4\cos^3\theta+4a\cos^2\theta+(b-3)\cos\theta-2a=0$$
   
   
   と変形できるので，この2式から
   
   $$2\cos \theta+2a=0$$
   
   
   が得られる．つまり解があるとしたらそれは $\cos \theta=-a$ ．これを $(*)$に代入して $b-1=0$ を得る． $\theta\ne n \pi$の$\theta$ が存在するために $-1<-a<1$ ．つまり $b=1\ (-1<a<1)$ ．

以上あわせて，求める $a$ と $b$ の条件は，

$$1\pm 2a+b=0,\ または\ b=1\ (-1<a<1)$$

□

解2

$$\begin{eqnarray*} &&\left\{ \begin{array}{l} \cos 3\theta+2a\cos 2\theta+b\cos... ...\sin \theta) +b=0 \quad (∵ \quad \cos \theta+i\sin \theta\ne 0) \end{eqnarray*}$$

したがって二次方程式

$$z^2+2az+b=0$$

が絶対値1の解をもてば，それに対して $\theta$ が定まる．

$z=\pm1$ が解になるときは $1\pm 2a+b=0$ ．

虚数解 $\alpha$ をもつときは，判別式の条件から $a^2-b<0$ ． $\alpha\cdot \overline{\alpha}=1$ から $b=1$ ．したがってまた $a^2<1$

あわせて

$$1\pm 2a+b=0,\ または\ b=1\ (-1<a<1)$$

□

吟味
このように，三角関数の計算なしにできてしまう．

本問は，実は私が高3のときに学校で使っていた問題集に載っていた問題だ． 演習の時間にこの問題があたった人は解1の方法で解いて黒板に書いていた． 私は解2のようにやった．黒板の解を見て，それよりもっと簡単にできるのに， と思ったことを覚えている．その解を書いた級友の名前や教室の情景を今も そこだけ切り取ったようにくっきりと覚えているので，この解2は自分自身にも印象深かった のだと思う．

複素数では

$$a=0\ かつ\ b=0 \quad \iff \quad a+bi=0$$

なので，連立方程式を複素数一つの式にできる．その結果 $\cos \theta+i\sin \theta \ne 0$ が使え，2次方程式の問題になってしまう． 連立三角方程式ではこの方法が有効なときがある．

しかしさらに考えれば，これはそれほど別な解というわけではない． 加法定理

$$\left\{ \begin{array}{l} \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos... ...a)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \end{array}\right.$$

と，複素数の等式

$$(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)$$

は同等だ． この同等性が根拠になって，加法定理の計算がド・モアブルの定理の中に吸收され，三角関数の計算がないように見えているだけのことだ． 別解といっても同じ根っこから出てきた別解である． 私は高校生のときはまったく違う解法だと思っていた．

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