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等しいものを文字に置く

二つ以上の等号でむすばれた条件などは， その等しいものを別の文字で表すことによって， 論証が簡明になることが多い． 同一の文字で表さたものは，相等しい．

例題 2.1       ［84防衛大改題］

相異なる3数 $a, b, c$ が

$$\dfrac{a^3+2a}{a+1}=\dfrac{b^3+2b}{b+1}=\dfrac{c^3+2c}{c+1}$$

を満たすとき，次の式の値を求めよ．

1. $a+b+c$
2. $abc+ab+bc+ca$

考え方     問題の条件は三つの分数式の値が等しいといっている． $a, b, c$ 三つの文字に対して等式は二つだから $a, b, c$ の値が定まるわけではない． しかし一定の式の値は定まる．それを求めよといっている． 三つ以上のものが等しい場合は，その式の値を文字におく． 互いに等しい値を文字におくのだ． これは等しいものを文字におく典型だ． そして得られた式を見れば，$a, b, c$について同じ形をしている． これはどういうことか．そこから解答作りがはじまる．

解答    

$$\dfrac{a^3+2a}{a+1}=\dfrac{b^3+2b}{b+1}=\dfrac{c^3+2c}{c+1} =k$$

と置く．すると

$$\left\{ \begin{array}{l} a^3+2a=k(a+1)\\ b^3+2b=k(b+1)\\ c^3+2c=k(c+1) \end{array}\right.$$ (2.1)

が成り立つ．ゆえに三数 $a, b, c$ は3次方程式

$$X^3+(2-k)X-k=0$$

の三解である． 3次方程式の解と係数の関係から

$$\begin{array}{l} a+b+c=0\\ ab+bc+ca=2-k\\ abc=k \end{array}$$

つまり，

$$a+b+c=0,\ \quad abc+ab+bc+ca=2$$

□

最初に等しいものを一つの文字に置くことがカギである． なお，解と係数を用いて関係式を導いたところは， 次のように辺々引いて求めていくこともできる．

解答2     (2.1)の第1式と第2式，第2式と第3式をそれぞれ引くと

$$\left\{ \begin{array}{l} a^3-b^3+2(a-b)=k(a-b)\\ b^3-c^3+2(b-c)=k(b-c) \end{array}\right.$$

$a-b\ne 0,\ b-c\ne 0$ なので

$$\left\{ \begin{array}{l} a^2+ab+b^2+2=k\\ b^2+bc+c^2+2=k \end{array}\right.$$ (2.2)

さらにこの二式を辺々引いて

$$a^2-c^2+b(a-c)=(a-c)(a+b+c)=0$$

$a-c\ne 0$なので

$$a+b+c=0$$

が得られる．

(2.1) の三式をすべて加えると

$$a^3+b^3+c^3+2(a+b+c)=k(a+b+c)+3k$$

$a+b+c=0$ なので

$$a^3+b^3+c^3=3k$$

一方

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

なので，$a+b+c=0$ を用いると $a^3+b^3+c^3-3abc=0$． あわせて$k=abc$ を得る．

(2.2)式と $c^2+ca+a^2+2=k$ の三式を加えると

$$\begin{eqnarray*} &&2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca+6=3k\\ &\iff&2\{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\}+ab+bc+ca+6=3abc \end{eqnarray*}$$

より

$$abc+ab+bc+ca=2$$

を得る．□

もしこの$k$とおく方法を使わず， 与えられた関係式のみから求めると，やや複雑になる．

解答3    

$$\dfrac{a^3+2a}{a+1}=\dfrac{b^3+2b}{b+1}$$

より

$$\begin{eqnarray*} 0&=&(a^3+2a)(b+1)-(b^3+2b)(a+1)\\ &=&a^3b-ab^3+a^3-b^3+2a-2b\\ &=&(a-b)\{ab(a+b)+a^2+ab+b^2+2\} \end{eqnarray*}$$

$a-b\ne 0$ なので

$$ab(a+b)+a^2+ab+b^2+2=0$$ (2.3)

同様に

$$bc(b+c)+b^2+bc+c^2+2=0$$

得られた二式を辺々引いて

$$\begin{eqnarray*} 0&=&a^2b+ab^2-b^2c-bc^2+a^2-c^2+ab-bc\\ &=&(a-c)\{b(a+c)+b^2+a+c+b\} \end{eqnarray*}$$

$a-c\ne 0$ なので

$$0=b(a+c)+b^2+a+c+b=(a+b+c)(b+1)$$

$b+1$は条件式の分母にあり0ではない．

$$∴\quad a+c+b=0$$

が得られる．

(2.3)に$a+b=-c$を代入して

$$-abc+a^2+ab+b^2+2=0$$

および同様に得られる二式

$$\begin{eqnarray*} &&-abc+b^2+bc+c^2+2=0\\ &&-abc+c^2+ca+a^2+2=0 \end{eqnarray*}$$

をすべて加えると

ここで

$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=-2(ab+bc+ca)$$

なので

これから

$$abc+ab+bc+ca=2$$

を得る．□

これは簡単な例であるが，三通りの方法で解くことができた． このようにひとつの解法が見つかっても， それで終わりにせずに他の解法はないか，考えてみたい． 異なる問題を三題解くよりも， 同じ問題を三通りの方法で解く方が力がつく．

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