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未知なものを文字に置く

点が動いたり，角が変化したり，動くもの， 変化するものをとらえ，一定の条件を満たすものを求めようとすれば， 文字の導入が必要である． 変化量，未知量には変数を置く． これをしっかりと心得ておきたい．

例題 2.2       ［06東大文科1番］

四角形$\mathrm{ABCD}$が，半径$\dfrac{65}{8}$の円に内接している． この四角形の周の長さが44で， 辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{CD}$の長さがいずれも13であるとき， 残りの2辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．

考え方     四角形が円に内接しているということは，それを分けた各三角形も円に内接している．正弦定理は外接円の半径と三角形の内角を用いて辺の長さを表す．二辺が既知の三角形で余弦定理と連立すれば，内角の正弦や余弦，残る辺の長さが決まる．それを，辺の長さが未知の方の三角形に用いればよい．

解答     $\angle \mathrm{BCD}=\theta$とする． また$\mathrm{AB}=x$とする．このとき $\mathrm{AD}=44-(13+13+x)=18-x$である．

$\bigtriangleup \mathrm{CBD}$の外接円の半径が$\dfrac{65}{8}$で あるから，正弦定理によって

$$\mathrm{BD}=2\cdot\dfrac{65}{8}\sin\theta \quad \cdots\maru{1}$$

である．

また $\bigtriangleup \mathrm{CBD}$に余弦定理を適用して，

$$\mathrm{BD}^2=13^2+13^2-2\cdot13^2\cos\theta \quad \cdots\maru{2}$$

$\maru{1},\ \maru{2}$から$\mathrm{BD}$を消去する．

$$\left(2\cdot\dfrac{65}{8}\sin\theta \right)^2 =13^2+13^2-2\cdot13^2\cos\theta$$

ここで，$\cos\theta=t$とおく．

$$\dfrac{13^2\cdot5^2}{16}(1-t^2)=2\cdot13^2(1-t)$$

ここで$0<\theta<\pi$なので $-1<\cos\theta<1$である． よって$1-t\ne 0$．

$$∴\quad 25(1+t)=32$$

これから $t=\dfrac{7}{25}$である．この結果

$$\mathrm{BD}^2=2\cdot13^2\left(1- \dfrac{7}{25}\right) =\left(\dfrac{6\cdot 13}{5} \right)^2$$

次に， $\bigtriangleup \mathrm{ABD}$において余弦定理を用いる． $\angle \mathrm{A}=\pi -\theta$であるから

$$\mathrm{BD}^2=x^2+(18-x)^2-2x(18-x)\cos(\pi-\theta)$$

これから

$$\left(\dfrac{6\cdot 13}{5} \right)^2 =x^2+(18-x)^2+2x(18-x)\cdot\dfrac{7}{25}$$

これを整理して

$$x^2-18x+56=(x-4)(x-14)=0$$

$$∴\quad (\mathrm{AB},\ \mathrm{AD})=(4,\ 14),\ (14,\ 4)$$ 　　　□