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例で考える

例題 2.15       ［01愛媛大］

$n$ を自然数とし，$1$ または $-1$ を $2n$ 個並べた数列 $(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{2n})$ を考える．例えば， $n=1$ のときは

$$(1,\ 1),\ (1,\ -1),\ (-1,\ 1),\ (-1,\ -1)$$

の4通りがある．

1. $\dfrac{1}{2}(a_1+a_2+ \cdots+ a_{2n})$は整数であることを示せ．
2. $\dfrac{1}{2}(a_1+a_2+ \cdots+ a_{2n})$が2の倍数となるような 数列 $(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{2n})$は全部で何通りあるか．

これは出題者が例( $n=1$ の場合)で考えなさいと言ってくれている． $n=1$ のときは四つの場合，$a_1+a_2$は 0 か 2 か$-2$ のいずれかで， つねに偶数になる． 任意の $n$ に対しどのように考えればよいか． そこを考える．

(2)はどのように考えるか． (1)の考え方をふまえると$2n-2k$が4の倍数になるような数列の総数ということになる．

解答    
(1)     $a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{2n}$の中で， 1と$-1$を可能なだけ組にする． $k$ 組できたとする． すると殘りは $2n-2k$ 個で， これらはすべて1か$-1$である．したがってその和は $2n-2k$ または $-(2n-2k)$ となり，つねに偶数である．

(2)  1の個数が $k$ である数列は${}_{2n} \mathrm{C}_k$ 通りできる．このとき-1は個あるので和はである．が4の倍数になればよい．

$n$ が偶数か奇数かで場合に分ける．

$n=2m$ のとき$2n-2k=4m-2k$なので$2n-2k$が4の倍数になるのは $k$ が偶数のとき．

$n=2m-1$ のとき $2n-2k=4m-2-2k=4m-2(k+1)$なので $2n-2k$が4の倍数になるのは $k$ が奇数のとき． ところが 二項定理

これから

$${}_{2n} \mathrm{C}_0+{}_{2n} \mathrm{C}_2+ \cdots+{}_{2n} \m... ...}_{2n} \mathrm{C}_3+ \cdots+{}_{2n} \mathrm{C}_{2n-1}=2^{2n-1}$$

なので，いずれの場合も $2^{2n-1}$ 通りである．□

例を考えると話しが具体的になり， 抽象的な証明も何をやっているかよくわかる．