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定数の範囲で式が変わる

これらを例題で考えながら，確認していこう．

例題 1.1       ［00京大文系前期］

$a$ を実数とする． $x$ の二次方程式

$$x^2-ax=2 \int_0^1\vert t^2-at\vert\,dt$$

は $0 \le x \le 1$ の範囲にいくつの解をもつか．

考え方         まず右辺の定積分を計算しなければならない． 被積分関数に絶対値がある． 絶対値記号はそれ自身場合分けで定義される記号だ．つまり

$$\vert a\vert=\left\{ \begin{array}{ll} a&(a\ge 0)\\ -a&(a<0) \end{array}\right.$$

したがって次の所からはじめることになる．

解答

$$\vert t^2-at\vert=\left\{ \begin{array}{ll} t^2-at&(t^2-at\ge 0)\\ -t^2+at&(t^2-at<0) \end{array}\right.$$

である．一方，積分域は $0\le t \le 1$ である．$t$ がこの範囲を動くとき， 途中で$t^2-at$の符号が変わるか変わらないかは$a$の範囲によって決まる． $a$の範囲によって積分計算は次のように区間に分けねばならない．

$$2\int_0^1\vert t^2-at\vert\,dt= \left\{ \begin{array}{ll} ... ...style 2\int_0^1(-t^2+at)\,dt &(1<a のとき) \end{array}\right.$$

である．

注意    

1. このように場合分けではまず場合分けを済ますことが大切だ． 上の一つ一つについて，その場で計算する人もいるが， 先に全体の場合分けを済ますこと．
2. $a$の範囲の境界での等号はいずれにつけてもよい． 境界ではいずれの式で計算しても同じ値になる．

積分を計算して

$$2\int_0^1\vert t^2-at\vert\,dt= \left\{ \begin{array}{ll} ... ...\displaystyle a-\dfrac{2}{3} &(1<a のとき) \end{array}\right.$$

となる． そこで，

$$f(x)=x^2-ax-2\int_0^1\vert t^2-at\vert\,dt$$

とおく． 区間$0 \le x \le 1$の端の値$f(0),\ f(1)$の符号を調べる．

1. $a \le 0$ のとき
   $$\begin{eqnarray*} f(0)&=&- \left(-a+\dfrac{2}{3} \right) =a-\dfrac{2}{3}<0\\ f(1)&=&1-a- \left(-a+\dfrac{2}{3} \right) =\dfrac{1}{3}>0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   よって $0 \le x \le 1$ における解は1個．
2. $0<a \le 1$ のとき
   $$\begin{eqnarray*} f(0)&=&- \left(\dfrac{2}{3}a^3-a+\dfrac{2}{3} \right) =-\dfr... ...rac{2}{3} \right) =-\dfrac{2}{3}\left( a^3-\dfrac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   よってこの場合はさらに場合分けされる．$f(1)$ の値が0以上なら1個，0未満なら0個である．
   
   $$\left\{ \begin{array}{ll} 1個&\left(0<a \le \dfrac{1}{\sq... ...ft(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}<a \le 1\right) \end{array} \right.$$
   
   

3. $1<a$ のとき
   $$\begin{eqnarray*} f(0)&=&-a+\dfrac{2}{3}<0\\ f(1)&=&1-a- \left(a-\dfrac{2}{3} \right) =-2a+\dfrac{5}{3}<0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   よって $0 \le x \le 1$ における解は0個．

以上から与方程式の $0 \le x \le 1$ における解は

$$a \le \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}のとき1個,\ \ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}<a のとき0個$$

となる． □