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値域・軌跡・通過範囲

図形とは一定の条件を満たす点の集合であると考えれば， 媒介変数をもつ曲線の通過領域も，適切に考えることができる． 通過領域の問題は，いくつかの解法があるが， 基本は次のように媒介変数の存在する条件から求めるものである．

1. 点$(X,\ Y)$が通過範囲にあるための必要十分条件を書く．
2. それは媒介変数$t$の存在する条件として表される．
3. $t$の方程式が解をもつ条件を$X$と$Y$の不等式で書き表す．

この観点から，値域・軌跡・通過範囲を統一的に把握しよう． これは，問題の構造をよく見て論理的に考える練習になる．

例題 1.2  

1. $x=t^2+2t-3$ とする. $t$ が $0\le t\le1$ の範囲に存在するとき， 対応する$x$ からなる数直線の部分集合 $V$ を求めよ.
2. $x-ty-1=0,\ tx+y-1=0$ とする．$t$ が実数にあるとき， 対応する点 $(x,\ y)$ からなる $xy$ 平面の部分集合 $V$ を求めよ.
3. $t^2+tx+y=0$ とする．$t$ が $0\le t\le1$ に存在するとき, 対応する点 $(x,\ y)$ からなる $xy$ 平面の部分集合 $V$ を求めよ.
4. $s+t=x,\ st=y$ とする．実数 $s,\ t$ が $\vert s\vert+\vert t\vert\le1$ に存在するとき, 対応する点 $(x,\ y)$ からなる $xy$ 平面の部分集合 $V$ を求めよ.

問題を解きながら，普通はどのようにいわれているのか，考えていこう． あえて問題にあわせた解答をしていく．

解答    

1. 
   
   $$\left\{ \begin{array}{l} s=f(t)=t^2+2t-3=(t+1)^2-4\\ s=x \end{array} \right.$$
   
   
   とおき, 二つのグラフが $0\le t\le1$ で交わる $x$ の範囲を求めればよい．

   $s=(t+1)^2-4$ となり，グラフの軸が $t=-1$ である. したがってここでは単調増加なので
   

   $$f(0)\le x\le f(1)$$
   
   
   よって
   
   $$V=\{x\,\vert\,-3\le x\le0\}$$
   
   
   これは「$t$ が $0\le t\le1$ を変域とするときの $x$ の値域」というものだ． 「 $x$ のとる値」とは，実は「 $t$ が存在するような $x$ の値」である．
2. 
   解1

   $x,\ y$ の連立方程式と見て解く.
   

   $$x=\dfrac{1+t}{1+t^2},\ y=\dfrac{1-t}{1+t^2}$$
   
   
   $x+y=\dfrac{2}{1+t^2}\ne0,\ x-y=\dfrac{2t}{1+t^2}$ なので
   
   $$t=\dfrac{x-y}{x+y}$$
   
   
   これを条件式に代入することにより
   
   $$x^2-x+y^2-y=0$$
   
   
   $x+y\ne0$ とあわせて
   
   $$V=\{(x,\ y)\,\vert\,x^2-x+y^2-y=0,\ (x,\ y)\ne(0,\ 0)\}$$
   
   

   
   解2

   $x-ty-1=0$ となる $t$ が存在するのは
   

   $$(x,\ y)=(1,\ 0)\ または\ y\ne0,\ t=\dfrac{x-1}{y}$$
   
   
   $tx+y-1=0$ となる $t$ が存在するのは
   
   $$(x,\ y)=(0,\ 1)\ または\ x\ne0,\ t=-\dfrac{y-1}{x}$$
   
   
   $\dfrac{x-1}{y}=-\dfrac{y-1}{x}$ より
   
   $$x(x-1)+y(y-1)=0$$
   
   
   これは $(x,\ y)=(1,\ 0),\ (0,\ 1)$ も含む．よって
   
   $$V=\{(x,\ y)\,\vert\,x^2-x+y^2-y=0,\ (x,\ y)\ne(0,\ 0)\}$$
   
   
   注意     さらに, これは二直線が直交することからも求められる． その場合, 除外点の考察をていねいにすること.

   本問の図形が「 $t$ が実数を動くときの二直線の交点の軌跡」というものだ． 「軌跡」といっても「点の集合」であることに変わりない．

3. 求める $(x,\ y)$ であることは， ${t_0}^2+t_0x+y=0$ となる $0\le t_0\le1$ の範囲の $t_0$ が存在することと同値である．

   ゆえに$t$ の二次方程式 $t^2+tx+y=0$ が $0\le t\le1$ に解をもつような $(x,\ y)$ に他ならない. $f(t)=t^2+tx+y$ とおく．次のいずれかが成り立てばよい.
   

   $$\begin{array}{l} f(0)\cdot f(1)\le0\\ D=x^2-4y\ge0,\ f(0)\ge0,\ f(1)\ge0,\ 0\le-\dfrac{x}{2}\le1 \end{array}$$
   
   
   これから, $V$ は次の条件のいずれかをみたす点 $(x,\ y)$ の集合
   
   $$\left\{\begin{array}{l} y\ge0\\ 1+x+y\le0 \end{array}\r... ...ge0\\ 1+x+y\ge0,\ y\ge0\\ -2\le x\le0 \end{array}\right.$$
   
   
   これは「 $t$ が $0\le t\le1$ を動くときの直線の通過範囲」というものだ． 条件をみたす点 $(x,\ y)$ の集合であることに変わりない．
4. $s$ と $t$ が実数という条件の下
   
   $$\begin{array}{c} \begin{array}{rcl} \vert s\vert+\vert t\... ... \end{array}\\ ∴\quad x^2-2y+2\vert y\vert\le1 \end{array}$$
   
   
   一方, $s$ と $t$ は二次方程式 $X^2-xX+y=0$ の2解である． この二次方程式が2実数解をもたねばならない
   
   $$x^2-4y\ge0$$
   
   
   よって
   
   \[ V=\{(x,\ y)\,|\,x^2-2y+2|y|\leqq 1\ かつ\ x^2-4y\geqq 0\} \]
   
   

   $x^2-2y+2\vert y\vert\le1$は， $y\ge 0$なら $-1\le x \le 1$ ， $y<0$ なら$x^2-4y\le1$ を意味する．

   これは「領域から領域への写像」だ．

通常「値域，軌跡，通過範囲」といわれるものもこのように言い方や見方をかえれば， 同じ型の問題であることは理解できただろうか．

問題の定式化

さて問題の構造をもう少し定式化して考えよう．

$A,\ B$ を数直線や座標平面，またはその部分集合とする． $A$ の要素を動く変数 $T$ と $B$ の要素を動く変数 $X$ の間の関係式がある (一つとはかぎらない)とする．この関係式を $F(T,\ X)=0$ と象徴的に書こう．象徴的というのは，式が一つとはかぎらないからである． また， $T$ や $X$ と大文字を使ったのは， $X=(x，\ y)$ のような平面の点(二変数)のこともあるからだ． 一変数のときは小文字を使うのが普通だが統一的に大文字にした． $T$ は通常のいい方では媒介変数にあたる．

この観点から例題の(1)(2)(3)を再度一般的な命名と問題の形にまとめる．

1. $t$ が実数$A$の部分集合 $U=\{\ t\ \vert\ 0\le t \le1\}$を動くとき $F：x-(t^2+2t-3)=0$ で定まる $x$ の値の集合 $V$(実数$B$の部分集合)を求めよ． $V$を関数 $x=f(t)=t^2+2t-3$の値域という．
2. $t$ が 実数$A$ を動くとき 二つの式 $F：\left\{\begin{array}{l}x-ty-1=0\\ tx+y-1=0\end{array}\right.$ で定まる $xy$ 平面 $B$ の部分集合 $V$を求めよ． 集合$V$を$F$で定まる点の軌跡という．
3. $t$ が実数$A$の部分集合 $U=\{\ t\ \vert\ 0\le t \le1\}$を動くとき， 式$F：t^2+tx+y=0$で定まる$xy$ 平面$B$内の直線の存在する集合$V$を求めよ． 集合$V$のことを直線の通過領域という．

このように上の問題はどれも次の形をしている，

集合$A$ と集合 $B$ の要素の間に一定の関係があるときに， $A$の部分集合$U$の各要素とこの関係で対応する$B$の要素の集合$V$を求めよ．

集合で書けば$V$は次のように書ける．

$$V=\{\ X\ \vert\ X \in B,\ F(T,\ X)=0となるT (\in U) が存在する\ \}$$

このように考えれば，要素$X=X_0$ が $V$ に属するための必要十分条件が $F(T_0,\ X_0)=0$となる$T_0$ が$U$ に存在することであることが見やすい． これから $X_0$ が満たすべき必要十分条件が求まり， それがつまり $V$ を定める． 入試問題では，$x$や$y$ を固定して，$t$ が存在するための必要十分条件として $x$ や $y$ の存在範囲を定める，という論述方針で取り組むのがよい．

受験参考書ではこのようにして媒介変数の存在条件として $V$ を求める方法を 「逆像法」とか「逆手法」とかいうことが多い． 何となく「裏ワザ」的な名前がついているため， 正面から勉強しないことが多いようだが， この方法こそ問題の構造を論理的に解明する「正攻法」なのだ． これがときに応じて値域であり，軌跡であり，通過領域，ということだ． 値域とか，軌跡とか，通過領域とか， いろいろに訳すのは日本の高校数学ぐらいなもので， かえってわかりにくくなっている． 大切なことは， この$V$ は媒介変数$T$が存在するための条件として定まるということだ．

ただしあくまで「定まる」ということであって， 具体的に求まるかどうかは別の問題である． 例えば『数学対話』のなかの「包絡線」で取りあげた通過領域は， この方法では具体的には求まらなかった． そこでもう少し，軌跡や通過領域を図形的に考えることが必要になり， それを述べたのが，「包絡線」である．

また，例題の(4)で，もし $x=2s+t,\ y=st$ として対称性を崩すと， たちまちこのままではできない． この場合も領域の形を定めるためには，別の工夫がいる． 万能ということではなく，領域や軌跡が何によって定まるのかを， しっかりおさえよ，ということである． 入試問題は， この対象のなかにある論理がつかめているかを問う問題が多く， したがって，ここで述べてきたことで解けるものがほとんどなのだ．

例題 1.3       ［92千葉大］

線分ABを直径とする半円がある． 周上の弧PQを弦PQで折り返したとき，折り返された弧が ABに接したとする(右図)． このような弦PQの存在する範囲を求めて図示せよ．

考え方     さてこれは何をどう置けばよいのか． まずこれは座標平面に入れよう．当然円の中心を原点にする単位円だ． 座標平面に入れて考える．折り返すとはどういうことだ． 円弧を折り返すように考えるが，折り返された円弧は別の円の弧の一部だ．
     ここが飛躍だ．この新しい折り返された円は，当然もとの円と半径は同じ1だ． では中心は． $x$ 軸に接する円の中心の $x$ 座標は $x$ 軸との接線だ． そこで，「何をどう置くか」だ．

解答     接点を $t$ とおく． 折り返された円は中心が $(t,\ 1)$ で半径が1の円である．

$$(x-t)^2+(y-1)^2=1^2$$

弦PQはもとの円と新たな円の交点を通る直線である． 直線PQの方程式は次のようになる．

$$\begin{eqnarray*} &&x^2+y^2-1+(-1)\{(x-t)^2+(y-1)^2-1\}=0\\ &\iff&2tx+2y-t^2-1=0 \end{eqnarray*}$$

$t$ の変域は $-1 \le t \le 1$である．

よって弦PQの通過範囲は 媒介変数 $t$ が $-1 \le t \le 1$ を動くときの， 直線 $2tx+2y-t^2-1=0$の通過範囲と， 円の周および内部の共通部分である．

$$f(t)=t^2-2xt-2y+1$$

とおく．$x$と$y$を固定する． 点$(x,\ y)$が直線PQの通過範囲にあることは， $f(t)=0$となる$t$が $-1 \le t \le 1$に存在することと同値である． いいかえると$t$の方程式$f(t)=0$が $-1 \le t \le 1$に解をもつ条件を $x$と$y$の不等式で書いたものが直線PQの通過範囲である．

よって， $f(-1)f(1)\le 0$ ， または $D\ge 0,\ f(-1)\ge 0,\ f(1)\ge 0,\ -1\le$ 軸 $\le 1$ が成り立てばよい． $t=\pm 1$ がこの二組の条件のいずれにも入っているが， 「または」だからこれでよい．

これから次のいずれかを満たす点の集合と 円の周および内部との共通部分が求めるものである． 「,」はすべて「かつ」を意味する． \begin{eqnarray*} �@&&1-x-y\leqq 0,\ かつ\ 1+x-y\geqq 0\\ �A&&1-x-y\geqq 0,\ かつ\ 1+x-y\leqq 0\\ �B&&x^2-(1-2y)\geqq 0,\ 1-x-y\geqq 0,\ \\ &&\quad 1+x-y\geqq 0,\ かつ\ -1\le x\leqq 1 \end{eqnarray*}

　この領域と半円の内部の共通部分が求める通過範囲である．
　図示すると次のようになる．□

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