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数列を漸化式に戻す

数列と2次方程式

$a,\ b$は定数， $\alpha,\ \beta$は0でない異なる定数として，数列

$$a_n=a\alpha^n+b\beta^n$$

を考える． ここで

$$\alpha+\beta=p,\ \alpha\beta=q$$

とおくと，$\alpha$と$\beta$は2次方程式

$$t^2-pt+q=0$$

の解であるから

$$\begin{array}{l} \alpha^2-p\alpha+q=0\\ \beta^2-p\beta+q=0 \end{array}$$

が成り立つ． よって

$$\begin{array}{l} \alpha^{n+2}-p\alpha^{n+1}+q\alpha^n=0\\ \beta^{n+2}-p\beta^{n+1}+q\beta^n=0 \end{array}$$

が成り立つ． $a\times$ 第1式$+b\times$ 第2式より

$$a_{n+2}-pa_{n+1}+qa_n=0$$

つまり三項間漸化式ができる． これはきわめて重要なことなので，よくおさえておきたい．

もちろん

と直接計算でもできるのだが，2次方程式との関連で理解しておきたい．

このように数列を漸化式に戻すことによって， ある種の数列の性質を帰納的に示すことができることがある．

例題 1.15       ［03東大文科］

2次方程式$x^2-4x+1=0$の二つの実数解のうち大きいものを$\alpha$， 小さいものを$\beta$とする．
$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，

$$s_n=\alpha^n+\beta^n$$

とおく．

1. $s_1$，$s_2$，$s_3$を求めよ．また，$n\ge 3$に対し， $s_n$を$s_{n-1}$と$s_{n-2}$で表せ．
2. $s_n$は正の整数であることを示し，$s_{2003}$の1の位の数を求めよ．
3. $\alpha^{2003}$以下の最大の整数の1の位の数を求めよ．

考え方     問題そのものが漸化式を求めているので，それを作りどのように活用するかを考えよう．

解答    

1. $\alpha=2+\sqrt{3},\ \beta=2-\sqrt{3}$， $\alpha+\beta=4$, $\alpha\beta=1$である．
   $$\begin{eqnarray*} &&s_1=\alpha+\beta=4\\ &&s_2=\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16-2=14 \end{eqnarray*}$$
   
   
   また$n\ge 3$のとき
   $$\begin{eqnarray*} &&\alpha^n-4\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}=\alpha^{n-2}(\alpha^2-4... ...beta^n-4\beta^{n-1}+\beta^{n-2}=\beta^{n-2}(\beta^2-4\beta+1)=0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   2式を加えて
   
   $$s_n-4s_{n-1}+s_{n-2}=0$$
   
   
   これから
   
   $$s_3=4s_2-s_1=4\cdot14-4=52$$
   
   

2. $\alpha>0,\ \beta>0$より$s_n>0$である． $s_1,\ s_2$は整数で $s_{n-2},\ s_{n-1}$が整数なら $s_n=4s_{n-1}-s_{n-2}$も整数． 数学的帰納法によって $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し$s_n$は整数である．

   $s_n$の1の位の数を$a_n$とする．
   

   $$a_1=4,\ a_2=4,\ a_3=2$$
   
   
   である． $m=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し
   
   $$a_{3m+1}=4,\ a_{3m+2}=4,\ a_{3m+3}=2 \quad \cdots\maru{1}$$
   
   
   を数学的帰納法で示す．$m=0$のときは成立する．$m$のとき成立するとする．
   
   
   
   $m+1$のときも成立しすべての$m$で$\maru{1}$が示された．
   
   $$2003=3\times667+2\quad ∴\quad a_{2003}=4$$
   
   

3. $0<\beta<1$なので $0<\beta^{2003}<1$． $s_{2003}=10h+4$とおくと
   
   $$\alpha^{2003}=10h+4-\beta^{2003}=10h+3+(1-\beta^{2003})$$
   
   
   $0<1-\beta^{2003}<1$なので$\alpha^{2003}$の1の位は3である．

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