次: 正則関数 上: 微分法 前: 微分法

連続関数

複素数列の収束

複素数の数列$\{z_n\}$の収束を次のように定義する．

任意の正数$\epsilon$に対して

$$n>n_0\quad \Rightarrow \quad \left\vert z_n-\alpha \right\vert<\epsilon$$

となる$n_0$が存在するとき，数列$\{z_n\}$は$\alpha$に収束するといい，これを

$$\lim_{n \to \infty}z_n=\alpha$$

と書く．

$z_n=x_n+y_n$，$\alpha=a+ib$とするとき， 平面$\mathbb{R}^2$上の2点 $\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$， $\mathrm{A}(a,\ b)$の距離

$$d(\mathrm{P}_n,\ \mathrm{A})=\sqrt{(x_n-a)^2+(y_n-b)^2}$$

が， $\left\vert z_n-\alpha \right\vert$と一致するので， 複素数列の収束は，平面上の点列の収束と同値であり， それはまた複素平面上の点列の収束とも同一視できる．

そして，平面上の点列の収束のところで示したように， 点列の収束は，各成分の収束と同値であるから， 複素数列の収束も，実成分，虚成分から作られる実数列 $\{x_n\},\ \{y_n\}$ がそれぞれ収束することと同値である． よって，複素数列の収束に関する諸性質が， 実数列の収束に関する定理から導かれる．

$\mathbb{C}$の部分集合$D$が閉集合であることの定義は， 距離空間のそれと同じである． 閉集合，領域など，平面上で定義された平面の部分集合に関する概念は， そのまま複素平面の部分集合において用いることができる．

複素関数

複素数$\mathbb{C}$の部分集合$D$から複素数$\mathbb{C}$への写像を複素関数という． これを$w=f(z)$のように書く．定義域と値域を区別するときは， 定義域は$z$平面にあり，値域は$w$平面にあるという表し方をする．

複素関数の値$f(z)$の実部，虚部はそれぞれ$z$の関数であり， 変数$z$自体が$z=x+yi$とするとき$x$と$y$の関数であるので， 複素関数$f(z)$はその実部，虚部も$x$と$y$の関数であり，

$$f(z)=P(x,\ y)+iQ(x,\ y)$$

と表すことができる．

複素関数$f(z)$が$z=\alpha$で連続であるとは，任意の正数$\epsilon$に対して， 正数$\delta$で，

$$\left\vert z-\alpha \right\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad \left\vert f(z)-f(\alpha) \right\vert<\epsilon$$

となるものが存在することである． これは2つの距離空間の間の写像の連続性を定めた定義を， 複素関数に適用したものである．

したがって，$f(z)$が$z=\alpha$で連続であることは次の条件とも同値である．

$\alpha$に収束する任意の点列$\{z_n\}$に対して

$$\lim_{n \to \infty}f(z_n)=f(\alpha)$$

が成り立つ．

この証明も，連続関数に関する定理の証明と同様になされる．

これと複素数列の性質をあわせれば， 複素関数 $f(z)=P(x,\ y)+iQ(x,\ y)$が$z=\alpha=a+ib$で連続であることと， 2つの関数$P(x,\ y)$と$Q(x,\ y)$はそれぞれ2変数の関数として， $(x,\ y)=(a,\ b)$で連続であることと同値である．

以上のように，複素関数の連続性は，実2次元距離空間から実2次元距離空間への写像の連続性そのものである．