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積分定理

複素関数の積分

複素平面の領域$D$内の曲線

$$C：z=z(t),\ t \in [a,\ b]$$

がある．曲線を分割しその分割を$\Delta$とする．

$$\Delta\ ：\ z(a)=z_0,\ z_1,\ \cdots,\ z_n=z(b)$$

また， $\left\vert\Delta \right\vert$を分割$\Delta$で分割された隣りあう二点間の距離の最大値とする． そして，$z_i=z(t_i)$となる$t_i$が

$$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$$

となるようにとられているものとする．また，この曲線は長さ$L$を有するものとする．

さらに，曲線$C$が，有限個の点を除いて滑らかであるとき， つまり有限個の点を除いて$z(t)$が微分可能であるとき， このときこれを区分的に滑らかという． これは対応する$\mathbb{R}^2$上の曲線が区分的に滑らかであることと同値である．

定理 4        関数$w=f(z)$は領域$D$で定義された連続関数で， 曲線$C$は長さを有し，この領域に含まれ，区分的に滑らかであるとする．

分割$\Delta$を上記のようにとり， 点$z_{i-1}$と点$z_i$で切られる曲線$C$の部分上にある$t=\tau_i$に対応する点$z(\tau_i)$を選んで， 和

$$\sum_{i=1}^nf(z(\tau_i))\left(z_i-z_{i-1}\right)$$

をとる．$\tau_i$をどのように選んでも，極限

$$\lim_{\left\vert\Delta \right\vert \to 0} \sum_{i=1}^nf(z(\tau_i))\left(z_i-z_{i-1}\right)$$

が存在する． ■

証明      $f(z)=P(x,\ y)+iQ(x,\ y)$， $z_i=x_i+iy_i$， $\tau_i=\xi_i+i\eta_i$とする． このとき

$$\begin{eqnarray*} &&f(z(\tau_i))\left(z_i-z_{i-1}\right)\\ &=&P(\xi_i,\ \eta_... ..._i,\ \eta_i)(y_i-y_{i-1})-Q(\xi_i,\ \eta_i)(x_i-x_{i-1})\right] \end{eqnarray*}$$

である．定理によって， $\left\vert\Delta \right\vert \to 0$のとき， 各成分の和は極限値を有する．よって本定理の極限値も存在する． □

この極限値を$f(z)$の$C$に沿う積分といい $$\int_Cf(z)\,dz$$と表す．

$f(z)$の$C$に沿う積分 $$\int_Cf(z)\,dz$$を， $\alpha=z(a)$，$\beta=z(b)$を明示して

$$\int_{\alpha}^{\beta}f(z)\,dz$$

などのように書くこともできる．

$z(t)$が$a\le t \le b$で微分可能とする． 複素平面の曲線$C$を実2次元平面の曲線と見なすと， 上記関係式からただちに

$$\begin{eqnarray*} \int_Cf(z)\,dz&=& \left\{\int_CP(x,\ y)\,dx-\int_CQ(x,\ y)\,... ...\right\}\\ &=&\int_C\left\{P(x,\ y)+iQ(x,\ y)\right\}(dx+idy) \end{eqnarray*}$$

とまとめられる． ここで変数を$t$に置換すると

$$\int_CP(x,\ y)\,dx=\int_a^bP\{x(t),\ y(y)\}x'(t)\,dt$$

などとなるので，

$$\int_Cf(z)dz = \int_a^b\left\{P(x,\ y)+iQ(x,\ y)\right\}\{x'(t)+iy'(t)\}\,dt$$

$$= \int_a^bf\{z(t)\}z'(t)\,dt$$ (1.4)

となる．

また，積分路$C$の逆向きの曲線を$-C$とすると

$$\int_{-C}f(z)\,dz=-\int_Cf(z)\,dz$$

となる．

複素関数の曲線に沿う定積分は，実2次元上の関数の曲線に沿う2つの線積分の組であり， またこれはリーマン和による定積分の思想的範疇に属するものである．

コーシーの積分定理

ここで複素解析のもっとも基本的な定理であるコーシーの積分定理を証明しよう．

定理 5        関数$w=f(z)$は領域$D$で正則である． 領域$D$に含まれ，長さ$L$を有する区分的に滑らかな閉曲線$C$があり， $C$で囲まれた領域は領域$D$に含まれるとする． このとき，上の積分に関して，

$$\int_Cf(z)\,dz=0$$

が成り立つ． ■

その証明を2通りに行う．

証明1      根拠となるのは，注()に述べたグリーンの定理のグルサによる一般化である．

$C$で囲まれた領域を$[C]$とする．

$$C=\overline{[C]}-[C]=\partial[C]$$

であるとする．

$f(z)=P(x,\ y)+iQ(x,\ y)$とする．$f(z)$が正則なので

$$\dfrac{\partial P}{\partial x}-\dfrac{\partial Q}{\partial ... ...frac{\partial P}{\partial y}+\dfrac{\partial Q}{\partial x}=0$$

が成り立ち，左辺はともに連続である．よって一般化されたグリーンの定理とこの関係を用いるとによって

$$\begin{eqnarray*} \int_C\left(Pdx-Qdy \right)&=& \int \!\!\! \int_{[C]}\left(-... ...l P}{\partial x}-\dfrac{\partial Q}{\partial y} \right)\,dxdy=0 \end{eqnarray*}$$

が成り立つ． よって

$$\int_Cf(z)\,dz=\int_C(Pdx-Qdy)+i\int_C(Qdx+Pdy)=0$$

である． □

注意 1.3.1        本証明は注()にあるグルサによる一般化を用いている． このために，本稿としては自己完結していない． この方向では，本稿で証明したグリーンの定理(定理)の範囲内では証明できない． ここでもし，定理5の$f(z)$に関する条件を

$$f(z)は正則，かつf'(z)は連続$$

とすれば，グリーンの定理(定理)から帰結される．

しかし$f'(z)$の連続性は逆にコーシーの積分定理からの帰結として導かれる． したがって$f'(z)$の連続性を条件としないでコーシーの積分定理を証明したい．

それが次の方法であり，これは『解析概論』[#!______1!#]や『函数論』[#!_________!#]の方法である．

まずいくつかの補題を示す．

補題 1        関数$f(z)$は領域$D$で連続である． 記号を定理4と同様にとる．

このとき任意の正数$\epsilon$に対し， $\left\vert\Delta \right\vert<\delta$であれば

$$\left\vert\int_Cf(z)\,dz-\int_{\Gamma}f(z)\,dz \right\vert<\epsilon$$

となる正数$\delta$と， $z_0=z(a)$と$z_n=z(b)$を結ぶ折れ線$\Gamma$が存在する． ■

証明      曲線$C$を含み領域$D$に含まれる閉領域$K$をとる． これは$C$上の点と$\partial D$上の点との距離の最小値を$R$とし $C$からの距離が$\dfrac{R}{2}$を超えない点の集合をとればよい．

$f(z)$は連続であるから定理により， $K$で一様連続である．つまり $z,\ z'\in K$で $\left\vert z-z' \right\vert<\delta$ なら

$$\left\vert f(z)-f(z')\right\vert<\dfrac{\epsilon}{2L}$$

となるような$\delta$が存在する． この$\delta$を，定理4の収束性を根拠に

$$\left\vert\int_Cf(z)\,dz-\sum_{i=1}^nf(z(\tau_i))\left(z_i-z_{i-1}\right) \right\vert<\dfrac{\epsilon}{2}$$

も成立するようにとる．このように定めた$C$上の点列

$$\Delta\ ：\ z(a)=z_0,\ z_1,\ \cdots,\ z_n=z(b)$$

を順次結んでできる折れ線を$\Gamma$とする． このとき

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert\sum_{i=1}^nf(z(\tau_i))\left(z_i-z_{i-1}\right)-... ...i=1}^n\left\vert z_i-z_{i-1} \right\vert\le \dfrac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$$

となる．したがってこの$\delta$に対して，

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert\int_Cf(z)\,dz-\int_{\Gamma}f(z)\,dz \right\vert\... ... \right\vert <\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray*}$$

が成り立つ． □

始点と終点の一致する折れ線を閉折れ線という． 同様に閉多角形折れ線も用いる．

2つの折れ線があり，第一の折れ線の始点と，第二の折れ線の始点をつなぐと新たな折れ線ができる． これを折れ線の和という．逆に一つの折れ線を，辺と辺の交点までの折れ線と， そこからはじまる折れ線の和に分けることができる．

一つの折れ線の間にある2つの頂点を線分で結ぶ．これによってその折れ線は その線分を互いに逆の方向に通過する2つの折れ線に分けることができる．

この2つをいずれも折れ線の分解という． 折れ線$\Gamma$が 折れ線 $Q_1,\ \cdots,\ Q_m$に分解されているとき，

$$\int_{\Gamma}f(z)\,dz=\int_{Q_1}f(z)\,dz+\cdots+\int_{Q_n}f(z)\,dz$$

である．

補題 2       折れ線の分解に関して命題：

1. 閉折れ線は有限個の閉多角形折れ線の和に分解される．
2. 閉多角形折れ線は有限個の閉三角形折れ線に分解される．

が成り立つ． ■

この結果，閉折れ線は有限個の閉三角形折れ線に分解される．

補題 3       $a$と$b$は定数である． 長さ$L$を有し区分的に滑らかな閉曲線$C$上の積分に関して，

$$\int_C(az+b)\,dz=0$$

が成り立つ． ■

証明     曲線$C$の分割を

$$\Delta\ ：\ z(a)=z_0,\ z_1,\ \cdots,\ z_n=z(a)=z_0$$

とする．定積分の定義式で $f(z)=az+b$のとき

$$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^nf(z(\tau_i))\left(z_i-z_{i-1}\right)&=& \sum_{i=... ...1}\right)\\ &=&\sum_{i=1}^naz(\tau_i)\left(z_i-z_{i-1}\right) \end{eqnarray*}$$

また

$$\sum_{i=1}^na\left(\dfrac{z_i+z_{i-1}}{2} \right)\left(z_i-z_{i-1}\right)=0$$

で， $\left\vert\Delta \right\vert<\delta$のとき

$$\left\vert\dfrac{z_i+z_{i-1}}{2}-z(\tau_i)\right\vert<\epsilon$$

とできるので，

$$\left\vert\sum_{i=1}^na(\tau_i)-\sum_{i=1}^na\dfrac{z_i+z_{i-1}}{2}\right\vert <\epsilon\cdot L$$

これより補題は成立する． □

以上の準備のうえに，定理5の第2の証明を行う．

証明2      曲線$C$の上の1点$\alpha$とる．$\alpha$から$\alpha$に至る任意の折れ線 $\Gamma$に関して

$$\int_{\Gamma}f(z)\,dz=0$$

が示されれば，補題1によって，定理5が成立する．

補題2によって，閉三角形折れ線$\Gamma$に関して，

$$\int_{\Gamma}f(z)\,dz=0$$

を示せばよい．

閉三角形折れ線$\Gamma$を辺の中点を結ぶ線を新たな辺として4つに分解する． これを繰りかえして$\Gamma$を$4^n$個に分解する．

$$\int_{\Gamma}f(z)\,dz=\int_{\Gamma_1}f(z)\,dz+\cdots+\int_{\Gamma_{4^n}}f(z)\,dz$$

なので，右辺の各項のうち最大のものが $$\int_{\Gamma(n)}f(z)\,dz$$であるとする． つまり

$$\left\vert\int_{\Gamma}f(z)\,dz \right\vert\le 4^n\int_{\Gamma(n)}f(z)\,dz$$

が成り立っている．$\Gamma(n)$の3頂点のうちいずれかを選びそれを$z_n$とする． 補題1の証明の論証と同様に，数列$\{z_n\}$は有界閉領域にある． よって集積点を有し，収束部分列が存在する．それを$\{z_{n_k}\}$とし $n\to \infty$のとき$z_{n_k}\to c$とする．任意の正数$\delta$に対して， $N$を十分大きくとることによって，

$$\left\vert z_N-c \right\vert<\dfrac{\delta}{2},\ \quad \dfrac{L}{2^N}<\dfrac{\delta}{2}$$ (1.5)

であるようにすることができる．$\{z_{n_k}\}$の決め方から， $n_k\ge N$のとき $z_{n_k}$は$\Gamma(N)$の周か内部にあり，したがってその極限$c$も $\Gamma(N)$の周か内部にある． また$\Gamma(N)$の周か内部の2点間の距離は，その周の長さに $\dfrac{L}{2^N}$を超えることはない． つまり，$\Gamma(N)$の周か内部の任意の点$z$に 対して

$$\left\vert z-c \right\vert\le \dfrac{L}{2^N}$$ (1.6)

が成り立つ． $f(z)$は$D$で正則であるから，

$$f(z)=f(c)+f'(c)(z-c)+\eta(z)\cdot(z-c)$$

とおくと， $$\lim_{z \to c}\eta(z)=0$$である． よって任意の正数$\epsilon$に対して， $\left\vert z-c \right\vert<\delta$なら

$$\left\vert\eta(z) \right\vert<\dfrac{\epsilon}{L^2}$$ (1.7)

となるようにできる． この$\delta$に対して，条件(1.5)が成り立つように$N$をとる． このとき

$$\int_{\Gamma(n)}f(z)\,dz= \int_{\Gamma(n)}\left[f(c)+f'(c)... ...ht]\,dz+\int_{\Gamma(n)}\left[\eta(z)\cdot(z-c)\right]\,dz\\$$

補題3より第一項の積分値は0である．また

$$\left\vert\int_{\Gamma(n)}\left[\eta(z)\cdot(z-c)\right]\,d... ...}\cdot\dfrac{L}{2^n}\cdot\dfrac{L}{2^n}=\dfrac{\epsilon}{4^N}$$

である．ゆえに，

$$\left\vert\int_{\Gamma}f(z)\,dz \right\vert\le 4^n\cdot \dfrac{\epsilon}{4^N}=\epsilon$$

である．$\epsilon$は任意なので，これは

$$\int_{\Gamma}f(z)\,dz=0$$

を意味している． □

積分定理の拡張

積分定理は次の2つの一般化が成り立つ．

定理 6  

(1)

$f(z)$が単連結な領域$D$で正則な関数であり，閉曲線$C$が$D$に含まれる．

(2)

領域$D$内の単一閉曲線$C$において，$C$の内部が$D$に含まれる．

いずれかの条件の下で，

$$\int_{C}f(z)\,dz=0$$

が成り立つ． ■

この証明はここでは行わない．

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