慶応理工�V解説　　　問題　解答　　2000年入試に戻る

この問題は，ほとんどの受験生が計算で処理しようとしたと思われる．
(1) はもちろん (2) も2次関数の問題にして計算で示せる．　そのなかで簡明なものを別解として紹介する．

g(x) は係数が一般的に与えられている．つまり「実数係数の2次式」という以上のことは何もない．こういうときは，2次関数であることに依拠しない論証を探そう．


本解のように g(x) は2次式である必要はなく，実数係数の任意の整式で成立する．

(1)の証明で，対称式が基本対称式で表されることを用いている．参考までに，対称式が基本対称式で表されることを示す最も手短な証明を，紹介しよう．


f(x,y) を x と y の対称式とする．基本対称式 x+y と xy の整式となることを次数 n に関する帰納法で示す．ここに f(x,y) の「次数」とは，各単項式での x の次数と y の次数の和のなかで最大にものを式 f(x,y) の次数という．


n=0のとき明らか．
n=1のとき f(x,y)=ax+ay+b=a(x+y)+b より成立．
n ≧2とし，0 〜n-1で成立しているとする．

F(x,y)=f(x,y)-f(x+y,0) とおく．
F(x,y) も x , y の対称式である．

F(x,0)=f(x,0)-f(x,0)=0
F(0,y)=f(0,y)-f(y,0)=f(y,0)-f(y,0)=0
であるから，因数定理によりF(x,y)は xy を因数にもつ．


F(x,y)=xyG(x,y)　とする．G(x,y) も対称式でn-2次以下の式である．
よって，G(x,y)　は x+y , xy の整式である．

よって，F(x,y) も x+y , xy の整式である．

f(x,y)=F(x,y)+f(x+y,0) であるから， x+y , xy の整式である．

帰納法により題意が示された．