九州大改題　解答　解説　2000年入試に戻る

複素数 $z=\cos 20^{\circ} +i\sin 20^{\circ}$ と，それに共役な複素数 $\bar{z}$ に対し $\alpha =z+\bar{z}$ とする．

1. $\alpha$ は整数を係数とするある3次方程式の解となることを示せ．
2. この3次方程式は3個の実数解をもち，そのいずれも有理数ではないことを示せ．
3. 有理数を係数とする2次方程式で， $\alpha$ を解とするものは存在しないことを示せ．