京大理系前期3　解答　解説　2001年入試に戻る

京大理系前期3　問題　解説　2001年入試に戻る

|a_n+k|=|a_n|=1 だから a_n+k=a_nとなるのは，整数 m があって

となることと同値である．

$\begin{displaymath}\arg a_n=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n(n-1)}{2},\ \arg a_{n+k} =\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{(n+k)(n+k-1)}{2} \end{displaymath}$

である．ゆえに

となる．これから

8m=k(2n+k-1)

となるので，すべての整数 n に対して整数 m が存在するための必要十分条件はkが8の倍数となることである．

$\begin{displaymath}∴ \quad k=8j\ (j\ は任意の整数) \end{displaymath}$

［別解］