東大理系前期１　問題　解説　2001年入試に戻る

${\rm CD}$の中点を ${\rm M}$ とする． $\bigtriangleup {\rm ACD},\ \bigtriangleup {\rm BCD}$ はともに 1 辺 2 の正三角形なので
 

\begin{displaymath}{\rm AM}={\rm BM}=\sqrt{3} \end{displaymath}
 
となり, $\bigtriangleup {\rm ABM}$ は1辺 $\sqrt{3}$ の正三角形である．(図1)

ゆえに，一般性を失うことなく次のように四面体を xyz 座標空間におくことが出来る．

$\bigtriangleup {\rm BCD}$ を xy 平面上におく．そのとき，点 ${\rm B}$ を x 軸の 負の部分におき，線分 ${\rm BM}$ の中点が原点に来るようにする．

 

このとき ${\rm A} \left(0,\ 0,\ \dfrac{3}{2} \right)$となり，他の xy 平面上の各点の座標は図2のように

\begin{displaymath}{\rm B} \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 0,\ 0 \right),\ {\rm C}... ...0 \right),\ {\rm M} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 0,\ 0 \right) \end{displaymath}
となる．

 

求める中心は対称性から xz 平面上にあり，さらに線分ABの垂直二等分線上にある．

この垂直二等分線は点Mを通り傾きが $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ であるから

\begin{displaymath}z=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+\dfrac{1}{2} \end{displaymath} , (y=0)

である(図3)．

ゆえに求める中心 ${\rm O}$ は

\begin{displaymath}{\rm O}\left(x,\ 0,\ -\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+\dfrac{1}{2} \right) \end{displaymath}
とおける． ${\rm OB}={\rm OC}=r$ より

\begin{displaymath}r^2= \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-x \right)^2+ \left(-\dfrac{1}... ...right)^2+1+ \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+\dfrac{1}{2} \right)^2 \end{displaymath}
 

これから $x=\dfrac{\sqrt{3}}{6},\ r^2=\dfrac{13}{9}$ ．

\begin{displaymath}∴ \quad r=\dfrac{\sqrt{13}}{3} \end{displaymath}