東大理系前期4　問題　解説　2001年入試に戻る

(1)    \begin{displaymath}b_{n+1}=\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+1}+a_n}{a_{n+1}} =1+\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=1+\dfrac{1}{b_n} \end{displaymath}


\begin{displaymath}∴ \quad b_1=i,\ b_2=1+\dfrac{1}{i}=1-i,\ b_3=1+\dfrac{1}{1-i}=1+\dfrac{1+i}{2} \end{displaymath}

 中心を z とする．

 \begin{displaymath}\vert i-z\vert=\vert 1-i-z\vert= \left\vert\dfrac{3}{2}+\dfrac{i}{2}-z \right\vert \end{displaymath}


 

 

図1のように $z=\dfrac{1}{2}$ と推測される．実際

 

\begin{displaymath}\vert i-\dfrac{1}{2}\vert=\vert 1-i-\dfrac{1}{2}\vert = \lef... ...}+\dfrac{i}{2}-\dfrac{1}{2} \right\vert =\dfrac{\sqrt{5}}{2} \end{displaymath}
ゆえに円 C の中心は $\dfrac{1}{2}$，半径は $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
(2) 数学的帰納法で示す． $n=1,\ 2,\ 3$ については示されている．
\begin{displaymath}\left\vert b_n-\dfrac{1}{2} \right\vert=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \end{displaymath}

とする． $b_n=\dfrac{\sqrt{5}}{2}(\cos \theta+i\sin \theta)+\dfrac{1}{2}$ とおく．

\begin{displaymath}∴ \quad \left\vert b_{n+1}-\dfrac{1}{2}\right\vert=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \end{displaymath}

帰納法によりすべての $b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$ が円 C 上にあることが示された．

［(2)の別解］

　1次分数変換であるから，次のようにもできる．