東大理系前期5 解答 解説 2001年入試に戻る


 容量 1 リットルの m 個のビーカー(ガラス容器)に水が入っている. $m\ge4$からのビーカーは無い.入っている水の総量は 1 リットルである. また x リットルの水が入っているビーカーがただ一つあり,その他の ビーカーには x リットル未満の水しか入っていない.

 このとき,水の入っているビーカーが 2 個になるまで,次の(a)から(c) までの操作を,順に繰り返し行う.

(a). 入っている水の量がもっとも少ないビーカーを一つ選ぶ.
(b). さらに,残りのビーカーの中から,入っている水の量が もっとも少ないものを一つ選ぶ.
(c). 次に(a)で選んだビーカーの水を(b)で選んだビーカーにすべて 移し,空になったビーカーを取り除く.

 この操作の過程で,入っている水の量が最も少ないビーカーの選び方が一通 りに決まらないときは,そのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする.

(1) $x<\dfrac{1}{3}$ のとき,最初に x リットルの水の入っていた ビーカーは,撮作の途中で空になって取り除かれるか, または最後まで 残って水の量が増えていることを証明せよ.
(2) $x>\dfrac{2}{5}$ のとき最初に x リットルの水の入っていた ビーーカーは,最後まで x リットルの水が入ったままで残ることを 証明せよ.