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定義を問う問題

最近の入試問題では，定義・基本事項を証明させる問題が頻出である． 2002年もいくつか出題された．気づいたものをここで紹介する．多くは小問の最初の部分である． これらがどのような文脈で出題されているか知りたければ原題にあたってほしい． 厳格な論述を試してほしい．

• 広島大
  n を自然数とする．次の等式が成り立つことを示せ．
  
  $$(a+b)^n={}_n \mathrm{C}_0a^n+{}_n \mathrm{C}_1a^{n-1}b+\cdots +{}_n \mathrm{C}_{n-1}ab^{n-1}+{}_n \mathrm{C}_nb^n$$
  
  

• 大教大
  (1) $$\sum_{k=1}^nk^2 =\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$ を証明せよ．
  (2) $$\sum_{k=1}^nk^3 =\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$$ を証明せよ．
• 津田塾大
  直線 ax+by+c=0 と点 $(x_0,\ y_0)$ の距離を与える公式
  
  $$\dfrac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
  
  
  を証明せよ．
• 九州大
  原点を中心とする半径 $r\ (r>0)$の円 x²+y²=r² 上の点 $(a,\ b)$ における接線の方程式は ax+by=r² で与えられることを示せ．
• 三重大，宮崎大
  $\log_ab =\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\ (a>0,\ b>0,\ c>0,\ a \ne 1,\ b \ne 1)$ を証明せよ．
• 九州大
  $\bigtriangle上 \mathrm{ABC}$ の面積は $\dfrac{1}{2} \sqrt{\vert\overrightarrow{\mathrm{AB}}\vert^2\vert\overrightarr... ...}}\vert^2 -(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}})^2}$ に等しいことを示せ．
• 大教大
  複素数 $z,\ w$ に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
  
  $$\vert z\vert-\vert w\vert\le \vert z+w\vert\le \vert z\vert+\vert w\vert$$
  
  

• 南山大
  定数 $\alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)$ に対し
  
  $$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx =-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$$
  
  
  が成り立つことを示せ．
• お茶の水女子大
  区間 $a\le x \le b$ を含む範囲で定義された正の値をとる 関数 f(x) を考える． y=f(x) のグラフ，2直線 $x=a,\ x=t\ (a\le t \le b)$ で囲まれた部分 の面積を S(t) とする． S'(t)=f(t) を示せ．
• 神戸大
  関数 f(x) は任意の実数 x に対して定義されているとする． f(x) が x=a において微分可能であることの定義を述べよ．
• (参)99東大
  (1) 一般角 $\theta$ に対して， $\sin \theta,\ \cos \theta$ の定義を述べよ．
  (2) (1)で述べた定義にもとづき，一般角 $\alpha,\ \beta$ に対して
  
  
  を証明せよ．
• (参)作問
  二つのベクトル $\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)$ ， $\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)$が ある．また二つのベクトルのなす角を $\theta$ とする．このとき
  (1) $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} =\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos \theta$ と定めれば， $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} =a_1b_1+a_2b_2$であることを示せ．
  (2) $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} =a_1b_1+a_2b_2$と定めれば， $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} =\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos \theta$ であることを示せ．

この作問に対して，その後次の問題が出題されていることがわかったので紹介する．

• 大阪女子大後期理系 新着