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02東京理科大

(1)

結論の否定を仮定し，何らかの矛盾が生じることを示す． それによって結論の否定が否定され，結論が成立することを示す 証明方法．

(2)

$\sqrt[3]{2}$ が有理数であると仮定する．

証明1 $\sqrt[3]{2}=\dfrac{q}{p}\ (p\ と\ q\ は互いに素な整数)$とおく．

2p³=q³

となるので， q は偶数． q=2q' とおく．このとき

2p³=8q'³

より p も偶数となり，互いに素という仮定と矛盾した． ゆえに $\sqrt[3]{2}$は無理数．

証明2 $\sqrt[3]{2}=\dfrac{q}{p}\ (p\ と\ q\ は整数)$とおく．

2p³=q³

となる．左辺の因数分解における因数2の個数は3で割ると1余る． それに対して右辺の因数分解における因数2の個数は3の倍数． 素因数分解の一意性と矛盾した． ゆえに $\sqrt[3]{2}$は無理数．

証明3 $\sqrt[3]{2}=\dfrac{q}{p}\ (p\ と\ q\ は0でない整数)$とおく．

2p³=q³

となるので， q は偶数． q=2q' とおく．このとき

2p³=8q'³

より p も偶数． p=2p' とおく．これを代入して約すると

2p'³=q'³

再び $p',\ q'$ が2で約せ，これは何回でも繰り返せる． つまり $p,\ q$ とも2で無限回約せる． これは$p\ と\ q$は0でない整数という仮定と矛盾した． ゆえに $\sqrt[3]{2}$は無理数．