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02千葉大

(1)

$\log_23$ が有理数と仮定し

$$\log_23=\dfrac{p}{q}\ \ (p,\ q\ は互いに素，\ q>0\ )$$

とおく．このとき， $2^{\frac{p}{q}}=3$なので

2^p=3^q

素因数分解の一意性によりこの式は矛盾である．ゆえに$\log_23$ は無理数である．

(2)

ある正の整数n に対して， $\log_2n$ が整数でない有理数とする．

$$\log_2n=\dfrac{p}{q}\ \ (p ,\ q\ は互いに素でp \ne 0,\ q>1\ )$$

とおく．このとき同様に

2^p=n^q

素因数分解の一意性により n=2^r となる非負整数 r が存在する． このとき指数を比較して

p=rq

これは$p,\ q$ が互いに素であることに矛盾した．ゆえに$\log_2n$ が整数でない有理数と なることはない．