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名大前期理系

条件をみたす正の実数 $(x,\ y,\ z)$ が存在したとする．

x^a=y^b=z^c=xyz=k

とおく．このとき $x=k^{\frac{1}{a}},\ y=k^{\frac{1}{b}},\ z=k^{\frac{1}{c}}$ でさらにxyz=kなので

$$xyz=k^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=k$$

$x,\ y,\ z$ は1とは異なり，$a,\ b,\ c$ は正なので $k>0,\ k \ne 1$ ．

したがって

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$$

が必要である．

逆に $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$なら，任意の1でない正の実数 k に対して $x=k^{\frac{1}{a}},\ y=k^{\frac{1}{b}},\ z=k^{\frac{1}{c}}$ とおけば，この$x,\ y,\ z$ は条件をみたす．

したがって $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$が，$x,\ y,\ z$ が存在 するための必要十分条件である．

$a\le b\le c$ より $\dfrac{1}{a}\ge \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{1}{c}$ である．

$$∴ \quad 1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \le \dfrac{3}{a}$$

これから $a=1,\ 2,\ 3$ でなければならない．

a=1 なら $b,\ c$ は存在しない．

a=2 のとき

$$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \le \dfrac{2}{b}$$

これから $b=3,\ 4$

b=3 なら c=6 ，b=4 なら c=4

a=3 のとき

$$\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \le \dfrac{2}{b}$$

これから b=3 ，このとき c=3

ゆえに求める正の整数の組 $(a,\ b,\ c)$ は

$$(3,\ 3,\ 3),\ (2,\ 4,\ 4),\ (2,\ 3,\ 6)$$