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名大前期文系

n を自然数として $a_n=\sqrt[5]{1+\dfrac{1}{n}}-1$ ， $b_n=1-\sqrt[5]{1-\dfrac{1}{n}}$ ， $c_n=\dfrac{1}{5n}$とおく．

$a_1=\sqrt[5]{2}-1$ ， b₁=1 ， $c_1=\dfrac{1}{5}$である．

ここで

$$\left(\dfrac{1}{5}+1 \right)^4=1.2^4=1.44\cdot 1.44=2.0736>2$$

なので

$$(c_1+1)^5>2\ ,\ \quad \iff \quad c_1>a_1$$

$$∴ \quad b_1>c_1>a_1$$

よって b_n>c_n>a_n と推測される．

$$\begin{eqnarray*}b_n>c_n&\iff&1-\sqrt[5]{1-\dfrac{1}{n}}-\dfrac{1}{5n}>0\\ &\if... ...\right)^4 +\left(\dfrac{1}{5n} \right)^5>0\\ これは明らかに成立 \end{eqnarray*}$$

したがって b_n>c_n>a_n である．