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九大前期理系

正の整数 a に対し, a の正の約数全体の和を f(a) で表す． ただし，1および a 自身も約数とする．たとえば f(1)=1であり， a=15 ならば15の正の約数は1,3,5,15なのでf(15)=24となる．次の問いに答えよ．

(1)

a が正の奇数 b と正の整数 m を用いてa=2^mbと表されるとする． このとき

f(a)=(2^m+l-1)f(b)

が成り立つことを示せ．

(2)

a が2以上の整数 p と正の整数 q を用いてa=pqと表されるとする． このとき

$$f(a)\ge (p+1)q$$

が成りたつことを示せ．また，等号が成り立つのは，q=1かつpが素数であるときに 限ることを示せ．

(3)

正の偶数 $a,\ b$ は，ある整数$m,\ n$とある奇数 $r,\ s$ を用いて $a=2^mr,\ b=2^ns$のように表すことができる．このとき $a,\ b$ が

$$\left\{ \begin{array}{l} f(a)=2b\\ f(b)=2a \end{array} \right.$$

をみたせば，$r,\ s$は素数であり，かつ $r=2^{n+1}-1,\ s=2^{m+1}-1$ となることを示せ．