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慶応医

設問(1)から(5)に答えなさい．

4で割ると余りが1になるような素数 $p,\ p=4k+1$，を1つとる．これに対し，等式

$$(\mathrm{Q}) \quad \quad \quad \quad a^2+4bc=p$$

を満たす自然数3つの組 $(a,\ b,\ c)$の全体を考える．両辺の絶対値を比べればわかるよう に，このような自然数3つの組の可能性は有限通りしかありえない．

いま等式(Q)を満たす自然数3つの組 $(a,\ b,\ c)$から新しく自然数3つの組を作る手続きを 次の(i)，(ii)，(iii)により定める:

(1)

a<b-cならば $(a+2c,\ c,\ b-a-c)$を作る;

(2)

b-c<a<2bならば $(2b-a,\ b,\ a-b+c)$を作る;

(3)

a>2bならば $(a-2b,\ a-b+c,\ b)$を作る．

(1)

$(a,\ b,\ c)$が等式(Q)を満たす自然数の組でさらに(i)の条件a<b-cを満 たすとする．このとき，上の(i)より得られる $(a+2c,\ c,\ b-a-c)$もまた等式 (Q)を満たすことを示しなさい．

(2)

等式(Q)を満たす自然数の組 $(a,\ b,\ c)$はa=b-cやa=2bを満たすことは ないことを示しなさい．

(3)

等式(Q)を満たす自然数の組 $(a,\ b,\ c)$の中には，上の手続きを施しても変化し ないという性質を持つものが存在する．p=4k+1と表すとき，この性質を持つ $(a,\ b,\ c)$を k を用いて具体的に与え，かっそれがただ1組しか存在しないことを 示しなさい．

(4)

等式(Q)を満たす自然数の組 $(a,\ b,\ c)$に対して上の手続きを2回繰返して施す とどうなるか，結論を簡潔に説明しなさい．また，この観察をもとに等式(Q)を満たす自 然数3つの組の全体の個数が偶数か奇数かを決定し，そう判断できる理由を述べなさい． ただし，等式(Q)を満たす自然数3つの細から上の手続きにより新しく作られた自然数3つの 組は(i)，(ii)，(iii)のどの場合でも再び等式(Q)を満たすという事実については ここでは証明なしに用いてよい．

(5)

素数p=4k+1をある2っの自然数 $a,\ b$ により

p=a²+(2b)²

と表すことができることを示しなさい．