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東北大前期理系

f₁(x) は実数全体で定義された何回でも微分可能な関数とする． $f_2(x),\ f_3(x),\ \cdots$ を次のように順次定義する． $n=2,\ 3,\ \cdots$ に対し， $$F_{n-1}(x)=\int_0^xf_{n-1}(t)\,dt$$ とおいて

$$f_n(x)=\int_0^xf_{n-1}(t)F_{n-1}(t)\,dt$$

とする． このとき以下の問いに答えよ．

(1)

$n\ge 2$のとき， すべてのx に対して $f_n(x)\ge 0$ であることを示せ．

(2)

$n\ge 3$のとき， すべての$x\ge 0$ に対して ${f_n}'(x)\ge 0$ であることを示せ．

(3)

f₄'(1)=0のとき， すべての $0\le x \le 1$に対してf₁(x)=0であることを示せ．