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名大前期理系

f(x) を実数全体で定義された連続関数で， x>0 で 0<f(x)<1 を満たすものとする． a₁=1 とし，順に， $$a_m=\int_0^{a_{m-1}}f(x)\,dx\ (m=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$$ により 数列 $\{a_m\}$ を定める．

(1)

$m\ge 2$ に対し， a_m>0 であり，かつ $a_1>a_2>\cdots >a_{m-1}>a_m>\cdots$ となることを示せ．

(2)

$\dfrac{1}{2002}>a_m$ となる m が存在することを背理法を用いて示せ．