上: 2. 解答 前: 5.

6.

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x-y)f(y)\,dy =\sin ... ...dy -\cos x \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin yf(y)\,dy$$

である．そこで

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos yf(y)\,dy=c_1,\ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin yf(y)\,dy=c_2$$

とおく．条件から

$$f(x)=-c_1\sin x+c_2\cos x+x+1$$

したがって， $\sin x\cos x,\ x \cos x$ が奇関数であることに注意して

$$\begin{eqnarray*}c_1&=&\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos yf(y)\,dy\\ &=... ...left[\sin y \right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=&-\dfrac{\pi}{2}c_1+2 \end{eqnarray*}$$

これから

$$c_1=\dfrac{8+4\pi}{4+\pi^2} ,\ c_2=\dfrac{8-4\pi}{4+\pi^2}$$

$$∴ \quad f(x)=-\dfrac{8+4\pi}{4+\pi^2}\sin x+\dfrac{8-4\pi}{4+\pi^2}\cos x+x+1$$