次: 6. 上: 2. 解答 前: 4.

5.

(1)

$$\begin{eqnarray*}{a_{n+1}}^2-2{b_{n+1}}^2&=&({a_n}^2+2{b_n}^2)^2-2(2a_nb_n)^2\\ &=&{a_n}^4-4{a_n}^2{b_n}^2+4{b_n}^4=({a_n}^2-2{b_n}^2)^2 \end{eqnarray*}$$

$$∴ \quad {a_n}^2-2{b_n}^2=({a_1}^2-2{b_1}^2)^{2^{n-1}}=1$$

(2) $a_n,\ b_n$ は作り方から正整数で，しかも単調に増加する． 自然数の単調増加列であるから

$$\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty,\ \lim_{n\to\infty}b_n=+\infty$$

したがって(1)から

$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{{a_n}^2}{{b_n}^2}=2+\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{{b_n}^2}=2$$

$$∴ \quad \lim_{n \to \infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\sqrt{2}$$