上: 2. 解答 前: 4.

5.

(1) 全事象の総数は _NP_k である．それに対して $x_1<x_2<\ \cdots\ <x_k$となる事象の各々は， 異なる k 個の数の組 $\{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_k\}$ の各々と一対一に対応している． すなわち， _NC_k 通りある．

$$∴ \quad p=\dfrac{{}_N\mathrm{C}_k}{{}_N\mathrm{P}_k}=\dfrac{1}{k!}$$

(2) 同様に

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1<x_2<\ \cdots\ <x_{i-1}\\ x_{i-1}>x_i \end{array} \right.$$

となる事象の総数を求める． 異なる i 枚のカード $y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_i$ を選びその最大のものをx_i-1に， それ以外のi-1枚中の1枚を x_i とし，他は小さい順に $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{i-2}$ とすればよい． 残る k-i 枚は N-i から順に選んで並べればよい．ゆえに該当する事象の総数は

$${}_N\mathrm{C}_i\cdot(i-1)\cdot{}_{N-i}\mathrm{P}_{k-i}$$

$$∴ \quad q_i =\dfrac{{}_N \mathrm{C}_i\cdot(i-1)\cdot{}_{N-i} \mathrm{P}_{k-i}}{{}_N \mathrm{P}_k} =\dfrac{i-1}{i!}$$

(3) 求める得点の期待値を E とする．

$$E=\sum_{i=2}^5i\cdot\dfrac{i-1}{i!} =\sum_{i=2}^5\dfrac{1}{(i-2)!}=\dfrac{8}{3}$$