次: 5. 上: 2. 解答 前: 3.

4.

(1) f(x) が x=a において微分可能であるとは

$$\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

が存在することである．

(2) ii が正しい．なぜなら f(x)=|x-a| は

$$\lim_{x \to a}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyl... ...yle \lim_{x \to a}(-x+a)=0&(x< a)\\ \end{array} \right.$$

となり x=a で連続である．しかし

$$\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\left\{ \begin{array}{... ...o a}\dfrac{-x+a-0}{x-a}=-1&(x< a)\\ \end{array} \right.$$

より $$\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ が存在しないので 微分可能ではない．

(3) 関数 $f(x)=\cos x$が x=a において連続であること，および $$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$を用いて示す．

$$\begin{eqnarray*}\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} &=&\lim_{x \to a}\dfrac{... ...left(\dfrac{x-a}{2}\right)}{\dfrac{x-a}{2}}\right\} =-\sin a \end{eqnarray*}$$

ゆえに， $\cos x$ は確かに x=a で微分可能である．