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1.

(1) |z|=1より $z\bar{z}=1$ ，つまり $\dfrac{1}{z}=\bar{z}$ ． Re(z)， Im(z)で， それぞれ z の実部，虚部を表す．このとき，

$$w=\dfrac{1}{2}(z+\bar{z})=\mathrm{Re}(z)$$

1=Re(z)²+Im(z)²より $-1\le \mathrm{Re}(z)\le 1$

$$∴ \quad v=0\ (-1\le u \le 1)$$

図1．

(2) z は

$$z=r(\cos \alpha+i\sin \alpha)\ (r>0)$$

とおける．

$$w=\dfrac{1}{2} \left\{r(\cos \alpha+i\sin \alpha) +\dfrac{1}{r}(\cos \alpha-i\sin \alpha) \right\}$$

$$∴ \quad u=\dfrac{1}{2} \left(r+\dfrac{1}{r} \right)\cos \alp... ...\quad v=\dfrac{1}{2} \left(r-\dfrac{1}{r} \right)\sin \alpha$$

$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ ，および r>0 から u>0 ．そして

$$\begin{eqnarray*}&&\left(\dfrac{u}{\cos\alpha} \right)^2-\left(\dfrac{v}{\sin\al... ...{r} \right)^2 -\dfrac{1}{4} \left(r-\dfrac{1}{r} \right)^2=1 \end{eqnarray*}$$

$\cos\alpha>0,\ \sin\alpha>0$であるから $\dfrac{u}{\cos\alpha} \pm \dfrac{v}{\sin\alpha}=0$ ， つまり $v=\pm (\tan\alpha) u$ を漸近線とする双曲線の u>0 の部分である．図2．