次: 3. 上: 2. 解答 前: 1.

2.

(1) $0<k\le n$ に対して直線x=k の上にある領域 D_n 内の格子点 $\mathrm{P}(x,\ y)$の個数は 3k-k+1=2k+1 個．

$$∴ \quad S_n=\sum_{k=1}^n(2k+1)=n(n+1)+n=n^2+2n$$

(2) 位置ぺクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が，

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}= m_1\overrightarrow{v_1}+ m_2\overrightarrow{v_2}+ m_3\overrightarrow{v_3}$$

と表せることは，領域 D_n 内の格子点 $\mathrm{P}(x,\ y)$に対し，

$$\left\{ \begin{array}{l} m_1+m_2+m_3=x\\ m_1+2m_2+3m_3=y \end{array} \right.$$

となる0以上の整数 $m_1,\ m_2,\ m_3$が存在することと同値である． この2式は

$$\left\{ \begin{array}{l} m_1+m_2+m_3=x\\ m_2+2m_3=y-x \end{array} \right.$$

と同値である．これから

$$\begin{array}{l} m_1=2x-y+m_3\\ m_2=-x+y-2m_3 \end{array}$$

つまり $m_1=2x-y+m_3\ge 0,\ m_2=-x+y-2m_3\ge 0$ となる $m_3\ge 0$ が存在すればよい． これから

$$\dfrac{-x+y}{2}\ge m_3 \ge -2x+y$$

したがって

(i) $-2x+y\le 0$ のとき．m₃=0にとればよく，このとき

$$(m_1,\ m_2,\ m_3)=(2x-y,\ -x+y,\ 0)$$

は確かに条件を満たす．

(ii) $-2x+y\ge 1$ のとき．m₃=-2x+yにとればよく，このとき

$$(m_1,\ m_2,\ m_3)=(0,\ 3x-y,\ -2x+y)$$

は確かに条件を満たす．