次: 3. 上: 2. 解答 前: 1.

2.

(1) 四角形 PQSR が長方形になっているので

$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}},\ ... ...errightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}}=0$$

これから

$$\left(b-a,\ \dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\right) =\left(d-c,\ \... ...right) \cdot\left(c-a,\ \dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{a}\right)=0$$

つまり

$$(b-a)\left(1,\ -\dfrac{1}{ab}\right) =(d-c)\left(1,\ -\dfra... ...{1}{ab}\right) \cdot(c-a)\left(1,\ -\dfrac{1}{ac}\right)=0$$

すなわち

$$a-b=c-d,\ ab=cd,\ 1+\dfrac{1}{a^2bc}=0$$

第1式と第2式から ab=c(c-a+b)，つまり (c-a)(c+b)=0 ． $c-a\ne 0$ より c-b ．ゆえにまた第2式より d=-a である． さらに，第3式から a²b²=1 ．ともに正なので $b=\dfrac{1}{a}$ ．

$$∴ \quad b=\dfrac{1}{a},\ c=-\dfrac{1}{a},\ d=-a$$

(2) (1)の結果と 0<b<a より 1<a ． さらに(1)から長方形は y=x に関して対称な位置にあり，直線 PR の 傾きは1である．

ゆえに直線 PRの式は $y=x-a+\dfrac{1}{a}$．この式で y=0 として 点 T の x 座標を求める．

$$∴ \quad \mathrm{T} \left(a-\dfrac{1}{a},\ 0 \right)$$

線分 TUは傾き -1 なのでその式は $x+y=a-\dfrac{1}{a}$ である． 対称性から，線分 TU が移動して最初に C と接する接点は $(1,\ 1)$ である． C の $(1,\ 1)$ での接線は x+y=2 ． 線分 TU と曲線 C が共通点をもたないような a の値の範囲は

$$a-\dfrac{1}{a}<2$$

1<aの下でこれを解くと

$$1<a<1+\sqrt{2}$$

(3) 四角形 PQUT の面積から， C と線分 PQ で囲まれた部分を 引けばよい．

$$\mathrm{PQ}^2= \left(a-\dfrac{1}{a} \right)^2+\left(\dfrac{1}... ... \right)^2,\ \mathrm{PT}^2=2 \left(\dfrac{1}{a} \right)^2$$

であるから

$$\mathrm{PQUT}=2\left(a-\dfrac{1}{a}\right)\cdot\dfrac{1}{a} =2 \left(1-\dfrac{1}{a^2}\right)$$

つぎに線分 PQの式は $y=-(x-a)+\dfrac{1}{a}$ である．

$$\begin{eqnarray*}S(a)&=&2 \left(1-\dfrac{1}{a^2}\right) -\int_{\frac{1}{a}}^a ... ...frac{1}{a}}^a\\ &=&2-\dfrac{a^2}{2}-\dfrac{3}{2a^2}+2\log a \end{eqnarray*}$$

(4)

$$S'(a)=-a+\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{a^3}=-\dfrac{(a^2-3)(a^2+1)}{a^3}$$

$1<\sqrt{3}<1+\sqrt{2}$であるから， a が $1<a<1+\sqrt{2}$の範囲を動くとき，S(a) は $1<a<\sqrt{3}$ で増加， $a=\sqrt{3}$ で極大かつ最大， $\sqrt{3}<a<1+\sqrt{2}$で減少する． 最大値 $S(\sqrt{3})=\log 3$