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東大後期数学3番問題

数列の和の公式

$$\begin{eqnarray*} &&\sum_{k=1}^nk=\dfrac{1}{2}n(n+1),\ \quad \sum_{k=1}^nk^2=\d... ...)(2n+1)\\ &&\sum_{k=1}^nk^3=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \end{eqnarray*}$$

などについて，次のような一般的な考察をしてみよう．

$p,\ n$を自然数とする．

1. $p+1$次の多項式$S_p(x)$があって， 数列の和 $$\sum_{k=1}^nk^p$$が$S_p(n)$と表されることを示せ．
2. $q$を自然数とする．(1)の多項式 $S_1(x),\ S_3(x),\ \cdots,\ S_{2q-1}(x)$に対して，
   
   $$\sum_{j=1}^qa_jS_{2j-1}(x)=x^q(x+1)^q$$
   
   
   が恒等式となるような定数 $a_1,\ \cdots,\ a_q$を$q$を用いて表せ．
3. $q$を2以上の自然数とする． (1)の多項式 $S_2(x),\ S_4(x),\ \cdots,\ S_{2q-2}(x)$に対して，
   
   $$\sum_{j=1}^{q-1}b_jS_{2j}(x)=x^{q-1}(x+1)^{q-1}(cx+q)$$
   
   
   が恒等式となるような定数$c$と $b_1,\ \cdots,\ b_{q-1}$を$q$を用いて表せ．
4. $p$を3以上の奇数とする．このとき，
   
   $$\dfrac{d}{dx}S_p(x)=pS_{p-1}(x)$$
   
   
   を示せ．

参考　整数値をとる多項式・2000年東大後期