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津田塾大

$p,\ q$は1より大きい実数であり，$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ を満たすとする． 空間ベクトル $\overrightarrow{u}=(u_1,\ u_2,\ u_3)$ に対して， \[ ||\overrightarrow{u}||_p=\left(|u_1|^p+|u_2|^p+|u_3|^p \right)^{\frac{1}{p}} \] と定義する．

(1)　$x>0$ に対して定義された関数 $f(x)$ を考える． $0< a< b$ として， $f(x)$ は開区間 $(a,\ b)$ 上で $f''(x)< 0$ を満たすとする． このとき $y=f(x)$ のグラフは開区間 $(a,\ b)$ において， 点 $(a,\ f(a))$ と点 $(b,\ f(b))$ を結ぶ線分の上側にある．理由を説明せよ．
(2)　$a>0,\ b>0$ のとき，$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ であることに注意して， \[ \dfrac{1}{p}\log a+\dfrac{1}{q}\log b\leqq \log\left(\dfrac{1}{p}a+\dfrac{1}{q}b \right) \] が成り立つことを示せ．
(3)　$x\geqq 0,\ y\geqq 0$ のとき， \[ xy\leqq \dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q} \] か成り立つことを示せ．
(4)　ベクトル$\overrightarrow{u}=(u_1,\ u_2,\ u_3)$ ， $\overrightarrow{v}=(v_1,\ v_2,\ v_3)$ が， $||\overrightarrow{u}||_p=1$，$||\overrightarrow{v}||_q=1$ を満たすとき， \[ |u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3|\leqq 1 \] が成り立つことを示せ．

解答