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津田塾大解答

(1)  点 $ (a,\ f(a)) $ と点 $ (b,\ f(b)) $ を結ぶ線分の方程式は \[ y=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)  (a< x< b) \] と表される. ここで, $ F(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a) $ とおく. 平均値の定理から $ a< c< b $ で \[ f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \] となるものが存在する. $ F''(x)=f''(x)< 0 $ なので, $ F''(x) $ はこの区間で単調減少し, $ F'(c)=f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 $ であるから, $ a< x< c $ で $ F'(x) >0 $ , $ c< x< b $ で $ F'(x)< 0 $ である. さらに, $ F(a)=F(b)=0 $ なので, \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0=F(a)< F(x)\leqq F(c)&(a< x \leqq c)\\ F(c) >F(x)>F(b)=0&(c< x< b) \end{array} \right. \] となり,区間 $ (a,\ b) $ で $ F(x) >0 $ である.
したがって, $ y=f(x) $ のグラフは開区間 $ (a,\ b) $ において, 点 $ (a,\ f(a)) $ と点 $ (b,\ f(b)) $ を結ぶ線分の上側にある.

(2)  $ f(x)=\log x $ とする. $ f'(x)=\dfrac{1}{x} $ , $ f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}< 0 $ である. $ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 $ なので, $ x=\dfrac{1}{p}a+\dfrac{1}{q}b $ は, 区間 $ (a,\ b) $ の内分点である.
また,点 $ (a,\ f(a)) $ と点 $ (b,\ f(b)) $ を結ぶ線分と直線 $ x=\dfrac{1}{p}a+\dfrac{1}{q}b $ の交点の $ y $ 座標は, $ y $ 軸における区間 $ (\log a,\ \log b) $ を同じ比で内分する点なので, $ y=\dfrac{1}{p}\log a+\dfrac{1}{q}\log b $ である.


したがって,(1)から \[ \dfrac{1}{p}\log a+\dfrac{1}{q}\log b\leqq \log\left(\dfrac{1}{p}a+\dfrac{1}{q}b \right) \] が成り立つ.

(3)  $ x=0 $ または $ y=0 $ なら $ x\geqq 0,\ y\geqq 0 $ より不等式 \[ xy\leqq \dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q} \quad \cdots@ \] は成立する. $ x>0 $ かつ $ y>0 $ とする.
$ x^p=y^q $ なら $ k=x^p=y^q $ とおくと $ \dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}=k $ であり, $ xy=k^{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}}=k $ なので,不等式 @ は等号で成立する.
$ x^p\ne y^q $ のとき, $ x^p< y^q $ とし, $ a=x^p,\ b=y^q $ で(2)を用いる. \[ \dfrac{1}{p}\log x^p+\dfrac{1}{q}\log y^q\leqq \log\left(\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q} \right) \] より \[ \log xy\leqq \log\left(\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q} \right) \] よって,この場合も不等式 @ は成立する. $ x^p >y^q $ のときも同様である.

(4)  (3)より, $ i=1,\ 2,\ 3 $ に対して, \[ |u_i||v_i| \leqq \dfrac{|u_i|^p}{p}+\dfrac{|v_i|^q}{q} \] がなりたつ. $ i=1,\ 2,\ 3 $ について辺々加えて \[ \sum_{i=1}^3|u_i||v_i|\leqq \dfrac{1}{p}\sum_{i=1}^3|u_i|^p +\dfrac{1}{q}\sum_{i=1}^3|v_i|^q \] 一方, \[ |u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3|\leqq \sum_{i=1}^3|u_iv_i|=\sum_{i=1}^3|u_i||v_i| \] であり, \[ \dfrac{1}{p}\sum_{i=1}^3|u_i|^p +\dfrac{1}{q}\sum_{i=1}^3|v_i|^q= \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 \] なので, \[ |u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3|\leqq 1 \] が成り立つ.

本問の背景などは, 『数学対話』の中の「凸領域と不等式」を参照のこと.

問題