2016年入試問題研究に戻る阪大理系5番
円上の5点A，B，C，D，Eは反時計回りにこの順に並び，円周を5等分している． 5点A，B，C，D，Eを頂点とする正五角形を $ \mathrm{R}_1 $ とする． $ \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a} $ ， $ \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{c} $ とおき， $ \overrightarrow{a} $ の大きさを $ x $ とする．(1) $ \overrightarrow{\mathrm{AC}} $ の大きさを $ y $ とするとき， $ x^2=y(y-x) $ がなりたつことを示せ．
(2) $ \overrightarrow{\mathrm{BC}} $ を $ \overrightarrow{a} $ , $ \overrightarrow{c} $ を用いて表せ．
(3) $ \mathrm{R}_1 $ の対角線の交点として得られる $ \mathrm{R}_1 $ の内部の5つの点を頂点とする 正五角形を $ \mathrm{R}_2 $ とする． $ \mathrm{R}_2 $ の一辺の長さを $ x $ を用いて表せ．
(4) $ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots $ に対して， $ \mathrm{R}_n $ の対角線の交点として得られる $ \mathrm{R}_n $ の内部の5つの点を頂点とする正五角形を $ \mathrm{R}_{n+1} $ とし， $ \mathrm{R}_n $ の面積を $ S_n $ とする． \[ \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{S_1}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}S_k \] を求めよ．
