2016年入試問題研究に戻る阪大理系5番解答
(1) ADとBEの交点をPとする． 正五角形の頂点の内角は $ 108^{\circ} $ であり， $ \bigtriangleup \mathrm{ACD} $ は頂角が $ 36^{\circ} $ ， 底辺の2角が $ 2^{\circ} $ の二等辺三角形である． この結果 $ \bigtriangleup \mathrm{BPA} $ は $ \bigtriangleup \mathrm{ACD} $ と相似である． \[ \mathrm{AP}=\mathrm{BE}-\mathrm{BP}=y-x \] である．相似比の相等より \[ \mathrm{AC}:\mathrm{CD}= \mathrm{BP}:\mathrm{PA} \] なので， \[ y:x=x:(y-x) \] これから $ x^2=y(y-x) $ がなりたつ．
(2) (1)と同様に考え $ \overrightarrow{\mathrm{AD}} $ と $ \overrightarrow{\mathrm{BC}} $ は平行である． \[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=t\overrightarrow{\mathrm{BC}} \] とおくと， $ t=\dfrac{y}{x} $ である．(1)から $ t $ は \[ 1=t^2-t \] を満たす． $ t >0 $ なので，これより \[ t=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \] である． \[ \overrightarrow{\mathrm{AB}}+ \overrightarrow{\mathrm{BC}}+ \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} \] より \[ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{c} =t\overrightarrow{\mathrm{BC}} \] なので， \[ (t-1)\overrightarrow{\mathrm{BC}}= \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c} \] $ \dfrac{1}{t-1}=t $ であるから \[ \overrightarrow{\mathrm{BC}}= \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right) \]
(3) $ \mathrm{R}_2 $ の一辺の長さを $ x_2 $ とおく． \[ \mathrm{AC}:\mathrm{CD}=\mathrm{EP}:x_2 \] より \[ y:x=(y-x):x_2 \] よって \[ x_2=\dfrac{x(y-x)}{y}=x-\dfrac{x^2}{y} =\dfrac{t-1}{t}x =(t-1)^2x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}x \]
(4) 同様に， $ \mathrm{R}_n $ の一辺の長さを $ x_n $ とおくと， \[ x_{n+1}=(t-1)^2x_n \] である．したがって面積比を考え， \[ S_{n+1}=(t-1)^4S_n \] したがって，数列 $ \left\{\dfrac{(-1)^{n+1}S_n}{S_1}\right\} $ は 初項1，公比 $ -(t-1)^4 $ の等比数列である． $ |t-1|< 1 $ なので， \[ \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{S_1}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}S_k= \dfrac{1}{1+(t-1)^4}=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^2} =\dfrac{3+\sqrt{5}}{6} \]